Demonstre que
binomn+mr=binomn0binommr+binomn1binommr-1+cdots+binomnrbinomm0
Dica: Considere um grupo de n homens e m mulheres. Quantos grupos de tamanho r são possíveis?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra provar que
[
\binom{n+m}{r}

\binom{n}{0}\binom{m}{r}
+
\binom{n}{1}\binom{m}{r-1}
+
\cdots
+
\binom{n}{r}\binom{m}{0}
]
Isso cai em Conteúdo de Combinatória básica (identidade de Vandermonde). A ideia que vamos usar é contar o mesmo conjunto de maneiras diferentes.

Passo 2

Primeira forma de contar (contagem “direta”):
Imagine que você tem binomn+mr homens e mulheres, totalizando pessoas. Se você quer escolher um grupo de pessoas entre essas , o número de jeitos de fazer isso é simplesmente
Aqui usamos a definição de binomial: “escolher de ”.

Passo 3

Segunda forma de contar (por casos):
Em vez de escolher direto, vamos separar quantos homens vamos ter no grupo. Suponha que o grupo tenha exatamente binomnibinommr-i homens (com variando de até ).
  • Para escolher esses homens entre os , há maneiras.
  • Para completar o resto do grupo com mulheres, precisamos escolher mulheres entre as , então há maneiras.
    Como cada escolha de homens e mulheres forma um grupo distinto, para um dado temos
grupos.

Passo 4

Agora, sumi=0^rbinomnibinommr-i pode ir de até . Somando todos esses casos, o total de grupos é
Mas esse total é exatamente o mesmo que (é o mesmo conjunto de grupos, contado de outra forma).

Resposta

[
\boxed{
\binom{n+m}{r}

\sum_{i=0}^{r}\binom{n}{i}\binom{m}{r-i}
}
]
Ou, escrevendo expandido:
[
\binom{n+m}{r}

\binom{n}{0}\binom{m}{r}
+\binom{n}{1}\binom{m}{r-1}
+\cdots
+\binom{n}{r}\binom{m}{0}.
]

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