Demonstre que
Dica: Considere um grupo de
homens e m mulheres. Quantos grupos de tamanho r são possíveis?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra provar que
[
\binom{n+m}{r}
\binom{n}{0}\binom{m}{r}
+
\binom{n}{1}\binom{m}{r-1}
+
\cdots
+
\binom{n}{r}\binom{m}{0}
]
+
\binom{n}{1}\binom{m}{r-1}
+
\cdots
+
\binom{n}{r}\binom{m}{0}
]
Isso cai em Conteúdo de Combinatória básica (identidade de Vandermonde). A ideia que vamos usar é contar o mesmo conjunto de maneiras diferentes.
Passo 2
Primeira forma de contar (contagem “direta”):
Imagine que você tem homens e
mulheres, totalizando
pessoas. Se você quer escolher um grupo de
pessoas entre essas
, o número de jeitos de fazer isso é simplesmente
Imagine que você tem
Aqui usamos a definição de binomial: “escolher
de
”.
Passo 3
Segunda forma de contar (por casos):
Em vez de escolher direto, vamos separar quantos homens vamos ter no grupo. Suponha que o grupo tenha exatamente homens (com
variando de
até
).
Em vez de escolher direto, vamos separar quantos homens vamos ter no grupo. Suponha que o grupo tenha exatamente
- Para escolher esses
homens entre os , há maneiras. - Para completar o resto do grupo com mulheres, precisamos escolher
mulheres entre as , então há maneiras.
Como cada escolha dehomens e mulheres forma um grupo distinto, para um dado temos
grupos.
Passo 4
Agora,
pode ir de
até
. Somando todos esses casos, o total de grupos é
Mas esse total é exatamente o mesmo que
(é o mesmo conjunto de grupos, contado de outra forma).
Resposta
[
\boxed{
\binom{n+m}{r}
\sum_{i=0}^{r}\binom{n}{i}\binom{m}{r-i}
}
]
Ou, escrevendo expandido:
[
\binom{n+m}{r}
\binom{n}{0}\binom{m}{r}
+\binom{n}{1}\binom{m}{r-1}
+\cdots
+\binom{n}{r}\binom{m}{0}.
]
+\binom{n}{1}\binom{m}{r-1}
+\cdots
+\binom{n}{r}\binom{m}{0}.
]