Demonstre cada uma das igualdades usando a definição precisa de limite.
28. \lim _{x \rightarrow 4^{+}} \frac{2}{\sqrt{x-4}}=\infty

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição precisa de limite, que
\lim_{x\to 4^{+}} \frac{2}{\sqrt{x-4}} = \infty.
Informações dadas e o que precisa ser provado:
  • A função é f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x-4}}, definida para x>4 (pois \sqrt{x-4} exige x-4\ge 0, e na vizinhança à direita de 4 usamos x>4).
  • Precisamos provar que, ao aproximar x de 4 vindo pela direita, os valores de f(x) crescem sem limite; formalmente, provar a definição de limite infinito à direita (descrita abaixo) para esta função.
Definição precisa que vamos usar (explicada de forma simples):
  • Dizer que \lim_{x\to 4^{+}} f(x) = \infty significa: para todo número real M>0 (aqui M representa um valor grande qualquer que queremos ultrapassar) existe um \delta>0 (dependente de M) tal que, se x satisfaz 0 < x-4 < \delta (ou seja, x está à direita de 4 e suficienteemente próximo), então f(x) > M.
Nos próximos passos faremos a prova construtiva: dado um M>0 qualquer, vamos construir um \delta>0 que garanta f(x)>M sempre que 0<x-4<\delta.

Passo 2

Começando a prova: seja um número arbitrário M>0. Vou explicar o papel de cada símbolo:
  • M é o limite inferior que queremos forçar f(x) a ultrapassar.
  • \delta será a distância máxima que permitimos entre x e 4 (pela direita): exigiremos 0<x-4<\delta.
  • x é a variável que se aproxima de 4 pela direita.
Queremos escolher \delta>0 de modo que 0<x-4<\delta implique \dfrac{2}{\sqrt{x-4}}>M.
Para manipular mais facilmente, faça a substituição t = x-4. Então t>0 quando x>4, e a condição 0<x-4<\delta fica 0<t<\delta. A desigualdade a provar se torna
\frac{2}{\sqrt{t}} > M \quad\text{sempre que}\quad 0<t<\delta.

Passo 3

Resolver a desigualdade para encontrar uma escolha natural de \delta.
Partimos de
\frac{2}{\sqrt{t}} > M.
Como t>0, podemos manipular as desigualdades com cuidado:
  1. Inverter a desigualdade passando para reciprocais: de \dfrac{2}{\sqrt{t}}>M obtemos \dfrac{1}{\sqrt{t}}>\dfrac{M}{2}. (Explicação: dividir ambos os lados por 2>0 preserva o sentido da desigualdade.)
  2. Inverter de novo para obter \sqrt{t} < \dfrac{2}{M}. (Explicação: tomar reciprocais de números positivos inverte a desigualdade: se a>b>0 então 1/a < 1/b. Aplicando esse princípio a \dfrac{1}{\sqrt{t}}>\dfrac{M}{2} \sqrt{t}<\dfrac{2}{M}.)
  3. Elevando ao quadrado (todos os termos são positivos) obtemos
t < \left(\frac{2}{M}\right)^{2}.
Portanto, se garantirmos 0<t<\left(\dfrac{2}{M}\right)^{2} então automaticamente \dfrac{2}{\sqrt{t}}>M.

Passo 4

Escolha explícita de \delta e verificação final.
Com base na dedução anterior, uma escolha conveniente é
\delta = \left(\frac{2}{M}\right)^{2}.
Observações:
  • Para qualquer M>0, a quantidade \delta assim definida é positiva (pois é o quadrado de \dfrac{2}{M}).
  • Agora, suponha que x satisfaça 0<x-4<\delta. Com t=x-4 temos 0<t<\left(\dfrac{2}{M}\right)^{2}. Pelos passos do Passo 3 isso implica \dfrac{2}{\sqrt{t}}>M. Voltando à x, isso é exatamente \dfrac{2}{\sqrt{x-4}}>M.
Assim, para o M dado achamos um \delta>0 (especificamente \delta=(2/M)^2) que garante: sempre que 0<x-4<\delta então f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x-4}}>M.

Passo 5

Conclusão formal usando a definição precisa.
Como mostramos que para todo M>0 existe \delta>0 (escolhida \delta=(2/M)^2) tal que 0<x-4<\delta implica \dfrac{2}{\sqrt{x-4}}>M, a definição precisa de limite infinito à direita é satisfeita. Portanto
\lim_{x\to 4^{+}} \frac{2}{\sqrt{x-4}} = \infty.
Um comentário intuitivo final: conforme x se aproxima de 4 pela direita, x-4 fica muito pequeno e positivo, \sqrt{x-4} também fica pequeno, e dividir 2 por um número muito pequeno produz um valor arbitrariamente grande — é por isso que a função “explode” para +\infty.

Resposta

\lim_{x\to 4^{+}} \dfrac{2}{\sqrt{x-4}} = \infty

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