Demonstre cada uma das igualdades usando a definição precisa de limite.
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Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição precisa de limite, que
Informações dadas e o que precisa ser provado:
- A função é
, definida para (pois exige , e na vizinhança à direita de usamos ). - Precisamos provar que, ao aproximar
de vindo pela direita, os valores de crescem sem limite; formalmente, provar a definição de limite infinito à direita (descrita abaixo) para esta função.
Definição precisa que vamos usar (explicada de forma simples):
- Dizer que
significa: para todo número real (aqui representa um valor grande qualquer que queremos ultrapassar) existe um (dependente de ) tal que, se satisfaz (ou seja, está à direita de e suficienteemente próximo), então .
Nos próximos passos faremos a prova construtiva: dado um
qualquer, vamos construir um
que garanta
sempre que
.
Passo 2
Começando a prova: seja um número arbitrário
. Vou explicar o papel de cada símbolo:
-
é o limite inferior que queremos forçar a ultrapassar. -
será a distância máxima que permitimos entre e (pela direita): exigiremos . -
é a variável que se aproxima de pela direita.
Queremos escolher
de modo que
implique
.
Para manipular mais facilmente, faça a substituição
. Então
quando
, e a condição
fica
. A desigualdade a provar se torna
Passo 3
Resolver a desigualdade para encontrar uma escolha natural de
.
Partimos de
Como
, podemos manipular as desigualdades com cuidado:
-
Inverter a desigualdade passando para reciprocais: de
obtemos . (Explicação: dividir ambos os lados por preserva o sentido da desigualdade.) -
Inverter de novo para obter
. (Explicação: tomar reciprocais de números positivos inverte a desigualdade: se então . Aplicando esse princípio a dá .) -
Elevando ao quadrado (todos os termos são positivos) obtemos
Portanto, se garantirmos
então automaticamente
.
Passo 4
Escolha explícita de
e verificação final.
Com base na dedução anterior, uma escolha conveniente é
Observações:
- Para qualquer
, a quantidade assim definida é positiva (pois é o quadrado de ). - Agora, suponha que
satisfaça . Com temos . Pelos passos do Passo 3 isso implica . Voltando à , isso é exatamente .
Assim, para o
dado achamos um
(especificamente
) que garante: sempre que
então
.
Passo 5
Conclusão formal usando a definição precisa.
Como mostramos que para todo
existe
(escolhida
) tal que
implica
, a definição precisa de limite infinito à direita é satisfeita. Portanto
Um comentário intuitivo final: conforme
se aproxima de
pela direita,
fica muito pequeno e positivo,
também fica pequeno, e dividir
por um número muito pequeno produz um valor arbitrariamente grande — é por isso que a função “explode” para
.