Use a indução matemática (página 66) para mostrar que se f(x)= x e^{x} então f^{(n)}(x)=(x+n) e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para mostrar, por indução matemática, uma fórmula para a derivada de ordem n. Especificamente:
  • Dado f(x)=x e^{x}.
  • Pedir para provar que, para todo inteiro n\ge 0,
f^{(n)}(x)=(x+n)e^{x}.
Informações úteis que temos à mão (definições que vamos usar):
  • f^{(n)}(x) significa a n-ésima derivada de f (por exemplo, f^{(0)}=f, f^{(1)}=f', f^{(2)}=f'', etc.).
  • Regras de diferenciação que usaremos: a derivada de e^{x} é e^{x} e a regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 2

Explicando rapidamente o método da indução (passo a passo, como se fosse um checklist para a prova):
  1. Base da indução: provar que a afirmação vale para um índice inicial (aqui vamos usar n=0). Isso garante que a propriedade começa a valer.
  2. Passo indutivo: assumir que a afirmação vale para um certo k (hipótese de indução) e a partir disso provar que vale para k+1.
    Se esses dois itens são feitos corretamente, concluímos que a afirmação vale para todo n\ge 0.

Passo 3

Base da indução ( n=0). Verificar que a fórmula funciona para n=0.
Por definição, f^{(0)}(x)=f(x). Então
f^{(0)}(x)=x e^{x}.
Comparando com a fórmula pretendida para n=0:
(x+0)e^{x} = x e^{x}.
Logo a fórmula é verdadeira para n=0.

Passo 4

Verificação com alguns exemplos simples (para intuir o padrão). Calcular as primeiras derivadas diretamente:
  • Derivada primeira:
f'(x)=\bigl(x e^{x}\bigr)'=\underbrace{(x)'}_{=1}e^{x}+x\underbrace{(e^{x})'}_{=e^{x}}=e^{x}+x e^{x}=(x+1)e^{x}.
  • Derivada segunda (derivar f'(x)=(x+1)e^{x}):
f''(x)=\bigl((x+1)e^{x}\bigr)'=1\cdot e^{x}+(x+1)e^{x}=(x+2)e^{x}.
Esses cálculos mostram o padrão (x+n)e^{x} para n=1,2, o que dá intuição antes de usar a indução formal.

Passo 5

Hipótese de indução. Suponha que, para algum k\ge 0, a fórmula seja verdadeira; isto é, suponha que
f^{(k)}(x)=(x+k)e^{x}.
Este é o passo em que assumimos a propriedade para um k fixo e queremos mostrar que ela implica o caso seguinte k+1.

Passo 6

Passo indutivo: provar que a hipótese para k implica a fórmula para k+1. Diferenciamos ambos os lados da hipótese de indução:
f^{(k+1)}(x)=\bigl(f^{(k)}(x)\bigr)'=\bigl((x+k)e^{x}\bigr)'.
Agora aplicamos a regra do produto (explicando cada termo): a derivada de x+k em relação a x é 1, e a derivada de e^{x} é e^{x}. Assim
\bigl((x+k)e^{x}\bigr)' = \underbrace{(x+k)'}_{=1}e^{x}+(x+k)\underbrace{(e^{x})'}_{=e^{x}} = e^{x}+(x+k)e^{x}.
Somando os termos temos
e^{x}+(x+k)e^{x}=(x+k+1)e^{x}.
Portanto
f^{(k+1)}(x)=(x+(k+1))e^{x}.
Isso conclui o passo indutivo: a verdade para k implica a verdade para k+1.

Passo 7

Conclusão da indução. Como mostramos a base ( n=0) e o passo indutivo (se vale para k então vale para k+1), pelo princípio da indução matemática a fórmula vale para todo inteiro n\ge 0. Ou seja, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\},
f^{(n)}(x)=(x+n)e^{x}.

Resposta

f^{(n)}(x)=(x+n)e^{x}

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