Use a indução matemática (página 66) para mostrar que se f(x)= x e^{x} então f^{(n)}(x)=(x+n) e^{x}.
Passo 1
O enunciado dá a função f e pede para mostrar, por indução matemática, uma fórmula para a derivada de ordem n. Especificamente:
Dado f(x)=x e^{x}.
Pedir para provar que, para todo inteiro n\ge 0,
f^{(n)}(x)=(x+n)e^{x}.
Informações úteis que temos à mão (definições que vamos usar):
f^{(n)}(x) significa a n-ésima derivada de f (por exemplo, f^{(0)}=f, f^{(1)}=f', f^{(2)}=f'', etc.).
Regras de diferenciação que usaremos: a derivada de e^{x} é e^{x} e a regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Passo 2
Explicando rapidamente o método da indução (passo a passo, como se fosse um checklist para a prova):
Base da indução: provar que a afirmação vale para um índice inicial (aqui vamos usar n=0). Isso garante que a propriedade começa a valer.
Passo indutivo: assumir que a afirmação vale para um certo k (hipótese de indução) e a partir disso provar que vale para k+1.
Se esses dois itens são feitos corretamente, concluímos que a afirmação vale para todo n\ge 0.
Passo 3
Base da indução (n=0). Verificar que a fórmula funciona para n=0.
Por definição, f^{(0)}(x)=f(x). Então
f^{(0)}(x)=x e^{x}.
Comparando com a fórmula pretendida para n=0:
(x+0)e^{x} = x e^{x}.
Logo a fórmula é verdadeira para n=0.
Passo 4
Verificação com alguns exemplos simples (para intuir o padrão). Calcular as primeiras derivadas diretamente:
Isso conclui o passo indutivo: a verdade para k implica a verdade para k+1.
Passo 7
Conclusão da indução. Como mostramos a base (n=0) e o passo indutivo (se vale para k então vale para k+1), pelo princípio da indução matemática a fórmula vale para todo inteiro n\ge 0. Ou seja, para todo n\in\mathbb{N}\cup\{0\},