II. Se g(x)=x^{5}, então \lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)-g(2)}{x-2}=80.

Passo 1

O enunciado nos dá a função g e a expressão do limite:
  • Dado: g(x)=x^{5}.
  • Expressão a avaliar: \displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{g(x)-g(2)}{x-2}.
    A pergunta implícita é: essa expressão vale 80? (Ou seja, calcular o limite e verificar se é 80.)

Passo 2

Entender a expressão: \displaystyle \frac{g(x)-g(2)}{x-2} é o quociente de diferenças de g em torno de x=2. Para g(x)=x^{5} temos
\frac{g(x)-g(2)}{x-2}=\frac{x^{5}-2^{5}}{x-2},\qquad x\neq 2.
Uma forma direta de simplificar essa fração é usar a fatoração da diferença de quintos:
a^{5}-b^{5}=(a-b)\bigl(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}\bigr).
Aqui a=x e b=2.

Passo 3

Aplicando a fatoração ao nosso caso obtemos, para x\neq 2,
x^{5}-2^{5}=(x-2)\bigl(x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16\bigr).
Logo
\frac{x^{5}-2^{5}}{x-2}=x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16.

Passo 4

Agora que o quociente de diferenças foi simplificado para um polinômio, o limite quando x\to 2 é simplesmente a substituição x=2 nesse polinômio (polinômios são contínuos):
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{5}-2^{5}}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\bigl(x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16\bigr)=2^{4}+2\cdot 2^{3}+4\cdot 2^{2}+8\cdot 2+16.
Calculemos termo a termo:
2^{4}=16,\quad 2\cdot 2^{3}=2\cdot 8=16,\quad 4\cdot 2^{2}=4\cdot 4=16,\quad 8\cdot 2=16,\quad 16=16.
Somando:
16+16+16+16+16=5\cdot 16=80.

Passo 5

Interpretação alternativa (útil para prova): a expressão \displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a} é a definição do derivada de g em a. A regra do poder (power rule) diz que, para g(x)=x^{n},
g'(x)=\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=5 e x=2 g'(2)=5\cdot 2^{4}=5\cdot 16=80, coincidindo com o cálculo por fatoração.

Resposta

Verdadeiro — \,80

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