II. Se
, então
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e a expressão do limite:
- Dado:
. - Expressão a avaliar:
.
A pergunta implícita é: essa expressão vale? (Ou seja, calcular o limite e verificar se é .)
Passo 2
Entender a expressão:
é o quociente de diferenças de
em torno de
. Para
temos
Uma forma direta de simplificar essa fração é usar a fatoração da diferença de quintos:
Aqui
e
.
Passo 3
Aplicando a fatoração ao nosso caso obtemos, para
,
Logo
Passo 4
Agora que o quociente de diferenças foi simplificado para um polinômio, o limite quando
é simplesmente a substituição
nesse polinômio (polinômios são contínuos):
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 5
Interpretação alternativa (útil para prova): a expressão
é a definição do derivada de
em
. A regra do poder (power rule) diz que, para
,
Aplicando com
e
dá
, coincidindo com o cálculo por fatoração.
Resposta
Verdadeiro —