Demonstre que:
(e) o conjunto \left\{1, t, t^{2}\right\} forma uma base de P_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que o conjunto \{1,t,t^{2}\} forma uma base de P_{2}.
Informações dadas:
  • O conjunto a testar é \{1,t,t^{2}\}.
  • P_{2} é o espaço vetorial formado por todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. Ou seja, polinômios da forma \alpha+\beta t+\gamma t^{2} com \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.
O que precisamos mostrar (explicitamente):
  1. Que \{1,t,t^{2}\} é linearmente independente.
  2. Que \{1,t,t^{2}\} gera (ou seja, gera todo) P_{2}.

Passo 2

Definições fundamentais (explicadas de forma simples e prática):
  • Linearmente independente: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
a\cdot 1 + b\cdot t + c\cdot t^{2}=0
como polinômio implica a=b=c=0.
Aqui a,b,c são números reais (coeficientes). O “zero” do lado direito é o polinômio nulo (o polinômio que vale 0 para todo t).
  • Gerar (span): um conjunto gera P_{2} se todo polinômio de grau \le 2 pode ser escrito como combinação linear dos elementos do conjunto. Ou seja, dado qualquer polinômio p(t)\in P_{2}, existem escalares a,b,c tais que
p(t)=a\cdot 1 + b\cdot t + c\cdot t^{2}.
  • Base: é um conjunto que é simultaneamente linearmente independente e gera o espaço.
Vou provar primeiro a independência linear e depois que o conjunto gera P_{2}.

Passo 3

Prova de linear independência (passo a passo, sem pular etapas):
Suponha que exista uma combinação linear que dá o polinômio nulo:
a\cdot 1 + b\cdot t + c\cdot t^{2}=0\qquad\text{(igualdade de polinômios, vale para todo }t\text{)}ô
Queremos mostrar que [a=b=c=0).
Como a igualdade de polinômios vale para todo t, podemos avaliar em valores específicos de t para obter equações numéricas úteis.
  • Avaliando em t=0:
a\cdot 1 + b\cdot 0 + c\cdot 0^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
  • Com a=0, a identidade fica
b\cdot t + c\cdot t^{2}=0\quad\text{para todo }t.
Avalie agora em t=1:
b\cdot 1 + c\cdot 1^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad b+c=0.
Avalie em t=-1:
b\cdot(-1) + c\cdot(-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad -b+c=0.
Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} b+c=0,\\[4pt] -b+c=0. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2c=0\], então \(c=0. Substituindo em b+c=0 b=0.
Portanto a=b=c=0. Isso prova que a única combinação linear que produz o polinômio nulo é a combinação trivial, logo \{1,t,t^{2}\} é linearmente independente.
Observação didática: avaliamos em pontos distintos para transformar a identidade de polinômios em um sistema de equações numéricas simples. Essa é uma técnica prática que você pode usar em provas quando trabalhar com igualdade de polinômios.]

Passo 4

Prova de que o conjunto gera P_{2} (span):
Tome um polinômio arbitrário p(t)\in P_{2}. Pela definição de P_{2}, ele tem a forma
p(t)=\alpha+\beta t+\gamma t^{2}
para certos escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.
Mas isso é exatamente uma combinação linear de 1,t,t^{2}:
p(t)=\alpha\cdot 1 + \beta\cdot t + \gamma\cdot t^{2}.
Assim, qualquer polinômio de grau menor ou igual a 2 pode ser escrito como combinação linear dos elementos do conjunto, ou seja, \{1,t,t^{2}\} gera P_{2}.
Essa parte é direta: escrever o polinômio na sua forma canônica já fornece os coeficientes da combinação linear.

Passo 5

Conclusão final:
Já mostramos que \{1,t,t^{2}\} é linearmente independente (Passo 3) e que gera P_{2} (Passo 4). Portanto \{1,t,t^{2}\} é uma base de P_{2}.
Um comentário prático: outra forma curta (quando você já conhece dimensão) é notar que \dim(P_{2})=3 e que \{1,t,t^{2}\} é um conjunto de 3 vetores linearmente independentes, então automaticamente é uma base. Mas na prova acima fizemos tudo explicitamente, sem usar esse teorema pronto.

Resposta

\{1,t,t^{2}\} forma uma base de P_{2}.

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