Demonstre que:
(e) o conjunto
forma uma base de
.
(e) o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que o conjunto
forma uma base de
.
Informações dadas:
- O conjunto a testar é
. -
é o espaço vetorial formado por todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . Ou seja, polinômios da forma com .
O que precisamos mostrar (explicitamente):
- Que
é linearmente independente. - Que
gera (ou seja, gera todo) .
Passo 2
Definições fundamentais (explicadas de forma simples e prática):
- Linearmente independente: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
como polinômio implica
.
Aqui são números reais (coeficientes). O “zero” do lado direito é o polinômio nulo (o polinômio que vale
para todo
).
Aqui
- Gerar (span): um conjunto gera
se todo polinômio de grau pode ser escrito como combinação linear dos elementos do conjunto. Ou seja, dado qualquer polinômio , existem escalares tais que
- Base: é um conjunto que é simultaneamente linearmente independente e gera o espaço.
Vou provar primeiro a independência linear e depois que o conjunto gera
.
Passo 3
Prova de linear independência (passo a passo, sem pular etapas):
Suponha que exista uma combinação linear que dá o polinômio nulo:
Queremos mostrar que [a=b=c=0).
Como a igualdade de polinômios vale para todo
, podemos avaliar em valores específicos de
para obter equações numéricas úteis.
- Avaliando em
:
- Com
, a identidade fica
Avalie agora em
:
Avalie em
:
Agora resolvemos o sistema linear
Somando as duas equações obtemos
. Substituindo em
dá
.
Portanto
. Isso prova que a única combinação linear que produz o polinômio nulo é a combinação trivial, logo
é linearmente independente.
Observação didática: avaliamos em pontos distintos para transformar a identidade de polinômios em um sistema de equações numéricas simples. Essa é uma técnica prática que você pode usar em provas quando trabalhar com igualdade de polinômios.]
Passo 4
Prova de que o conjunto gera
(span):
Tome um polinômio arbitrário
. Pela definição de
, ele tem a forma
para certos escalares
.
Mas isso é exatamente uma combinação linear de
:
Assim, qualquer polinômio de grau menor ou igual a
pode ser escrito como combinação linear dos elementos do conjunto, ou seja,
gera
.
Essa parte é direta: escrever o polinômio na sua forma canônica já fornece os coeficientes da combinação linear.
Passo 5
Conclusão final:
Já mostramos que
é linearmente independente (Passo 3) e que gera
(Passo 4). Portanto
é uma base de
.
Um comentário prático: outra forma curta (quando você já conhece dimensão) é notar que
e que
é um conjunto de
vetores linearmente independentes, então automaticamente é uma base. Mas na prova acima fizemos tudo explicitamente, sem usar esse teorema pronto.