Determinar o subespaço de
(espaço vetorial dos polinômios de grau 2) gerado pelos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o subespaço de
(polinômios de grau até 2) gerado pelos vetores (polinômios)
e
.
Informações dadas: e
são polinômios em
. A tarefa é descrever o subespaço
(ou seja, todos os polinômios que são combinações lineares de
e
).
Informações dadas:
Passo 2
O que significa "subespaço gerado por
e
"? Significa todos os polinômios que podem ser escritos como combinação linear
onde
e
são escalares (aqui assumimos escalares reais). Vou explicar as variáveis:
e
são os coeficientes das combinações lineares; o resultado é um polinômio em
.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a combinação linear dada,
Agora distribuo
:
Ou seja, qualquer combinação linear de
e
tem a forma
Passo 4
Renomeando os coeficientes: seja
e
. Assim a forma geral torna-se
onde
e
variam livremente em
(porque para quaisquer
podemos escolher
e
). Isso mostra que todo polinômio da forma
pertence ao span e, inversamente, todo elemento do span tem essa forma. Portanto o span é exatamente o conjunto desses polinômios.
Passo 5
Interpretação simples: os polinômios do span são exatamente aqueles de grau no máximo
que têm coeficiente constante igual a zero (ou seja, sem termo independente). Em notação:
Passo 6
Podemos também observar uma relação útil entre
e
: subtraindo,
Logo
. Como
já está no span, temos
.
Passo 7
Verifico independência linear dos vetores
e
: suponha que existam escalares
tais que
(onde
é o polinômio identicamente zero). Igualdade de polinômios implica igualdade dos coeficientes para cada potência de
. Assim o coeficiente de
dá
e o coeficiente de
dá
. Logo são linearmente independentes. Portanto
é uma base do subespaço e a dimensão é
.
Resposta
Uma base é