Determinar o subespaço de P_{2} (espaço vetorial dos polinômios de grau 2) gerado pelos vetores p_{1}=x^{2} e p_{2}=x^{2}+x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o subespaço de P_{2} (polinômios de grau até 2) gerado pelos vetores (polinômios) p_{1}=x^{2} e p_{2}=x^{2}+x.
Informações dadas: p_{1} e p_{2} são polinômios em P_{2}. A tarefa é descrever o subespaço \mathrm{span}\{p_{1},p_{2}\} (ou seja, todos os polinômios que são combinações lineares de p_{1} e p_{2}).

Passo 2

O que significa "subespaço gerado por p_{1} e p_{2}"? Significa todos os polinômios que podem ser escritos como combinação linear
\alpha p_{1}+\beta p_{2},
onde \alpha e \beta são escalares (aqui assumimos escalares reais). Vou explicar as variáveis: \alpha e \beta são os coeficientes das combinações lineares; o resultado é um polinômio em P_{2}.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a combinação linear dada,
\alpha p_{1}+\beta p_{2}=\alpha x^{2}+\beta(x^{2}+x).
Agora distribuo \beta:
\alpha x^{2}+\beta x^{2}+\beta x=(\alpha+\beta)x^{2}+\beta x.
Ou seja, qualquer combinação linear de p_{1} e p_{2} tem a forma
(\alpha+\beta)x^{2}+\beta x.

Passo 4

Renomeando os coeficientes: seja A=\alpha+\beta e B=\beta. Assim a forma geral torna-se
Ax^{2}+Bx,
onde A e B variam livremente em \mathbb{R} (porque para quaisquer A,B podemos escolher \beta=B e \alpha=A-B). Isso mostra que todo polinômio da forma Ax^{2}+Bx pertence ao span e, inversamente, todo elemento do span tem essa forma. Portanto o span é exatamente o conjunto desses polinômios.

Passo 5

Interpretação simples: os polinômios do span são exatamente aqueles de grau no máximo 2 que têm coeficiente constante igual a zero (ou seja, sem termo independente). Em notação:
\mathrm{span}\{p_{1},p_{2}\}=\{Ax^{2}+Bx \mid A,B\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

Podemos também observar uma relação útil entre p_{1} e p_{2}: subtraindo,
p_{2}-p_{1}=(x^{2}+x)-x^{2}=x.
Logo x\in\mathrm{span}\{p_{1},p_{2}\}. Como p_{1}=x^{2} já está no span, temos \mathrm{span}\{p_{1},p_{2}\}=\mathrm{span}\{x,x^{2}\}.

Passo 7

Verifico independência linear dos vetores x e x^{2}: suponha que existam escalares c_{1},c_{2} tais que
c_{1}x^{2}+c_{2}x=0
(onde 0 é o polinômio identicamente zero). Igualdade de polinômios implica igualdade dos coeficientes para cada potência de x. Assim o coeficiente de x^{2} c_{1}=0 e o coeficiente de x c_{2}=0. Logo são linearmente independentes. Portanto \{x,x^{2}\} é uma base do subespaço e a dimensão é 2.

Resposta

\mathrm{span}\{p_{1},p_{2}\}=\{Ax^{2}+Bx \mid A,B\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{x,x^{2}\}.
Uma base é \{x,x^{2}\} e \dim=2.

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