Para cada um dos itens abaixo, determine se cada um dos conjuntos abaixo é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI):
(g) o conjunto de vetores \left\{1-x+2 x^{2}, x-x^{2}, x^{2}\right\} do conjunto de polinômios de grau 2 .

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de polinômios
\{\,1 - x + 2x^{2},\; x - x^{2},\; x^{2}\,\}
no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, e pede que eu determine se esse conjunto é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). As informações relevantes são exatamente esses três vetores (polinômios) e a pergunta sobre dependência linear.

Passo 2

Definição prática que vamos usar: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se para escalares \alpha,\beta,\gamma
\alpha(1 - x + 2x^{2})+\beta(x - x^{2})+\gamma x^{2}=0
implica necessariamente \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir uma solução com algum escalar diferente de zero, então o conjunto é linearmente dependente. Aqui 0 é o polinômio zero (todos os coeficientes zero).

Passo 3

Vou aplicar exatamente essa definição: seja \alpha,\beta,\gamma escalares tais que
\alpha(1 - x + 2x^{2})+\beta(x - x^{2})+\gamma x^{2}=0.
O objetivo é ver se isso força \alpha=\beta=\gamma=0 ou se existe solução não-trivial.

Passo 4

Faço a expansão termo a termo:
\alpha\cdot 1 + \alpha\cdot(-x) + \alpha\cdot 2x^{2} + \beta\cdot x + \beta\cdot(-x^{2}) + \gamma\cdot x^{2}.
Ou seja,
\alpha - \alpha x + 2\alpha x^{2} + \beta x - \beta x^{2} + \gamma x^{2}.

Passo 5

Agora agrupo os coeficientes em cada potência de x. Como o lado direito é o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Obtém-se o sistema:
coeficiente de 1: \alpha=0.
coeficiente de x: -\alpha+\beta=0.
coeficiente de x^{2}: 2\alpha-\beta+\gamma=0.

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação vem
\alpha=0.
Substituindo em -\alpha+\beta=0
-\;0+\beta=0\quad\Rightarrow\quad \beta=0.
Substituindo \alpha=0 e \beta=0 em 2\alpha-\beta+\gamma=0
2\cdot 0 - 0 + \gamma = 0\quad\Rightarrow\quad \gamma=0.
Logo \alpha=\beta=\gamma=0 é a única solução.

Passo 7

Concluo, pelo que vimos na definição, que a única combinação linear que produz o polinômio zero é a combinação trivial. Portanto o conjunto é linearmente independente. (Observação rápida: outra forma de ver isso é escrever as coordenadas desses polinômios na base \{1,x,x^{2}\} e verificar que as colunas formam uma matriz cujo posto é 3; aqui o cálculo direto dos coeficientes já foi suficiente.)

Resposta

Linearmente independente (LI)

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