Para cada um dos itens abaixo, determine se cada um dos conjuntos abaixo é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI):
(g) o conjunto de vetores
do conjunto de polinômios de grau 2 .
(g) o conjunto de vetores
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto de polinômios
no espaço dos polinômios de grau no máximo
, e pede que eu determine se esse conjunto é linearmente dependente (LD) ou linearmente independente (LI). As informações relevantes são exatamente esses três vetores (polinômios) e a pergunta sobre dependência linear.
Passo 2
Definição prática que vamos usar: um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se para escalares
implica necessariamente
. Se existir uma solução com algum escalar diferente de zero, então o conjunto é linearmente dependente. Aqui
é o polinômio zero (todos os coeficientes zero).
Passo 3
Vou aplicar exatamente essa definição: seja
escalares tais que
O objetivo é ver se isso força
ou se existe solução não-trivial.
Passo 4
Faço a expansão termo a termo:
Ou seja,
Passo 5
Agora agrupo os coeficientes em cada potência de
. Como o lado direito é o polinômio zero, cada coeficiente deve ser zero. Obtém-se o sistema:
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
Passo 6
Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação vem
Substituindo em
dá
Substituindo
e
em
dá
Logo
é a única solução.
Passo 7
Concluo, pelo que vimos na definição, que a única combinação linear que produz o polinômio zero é a combinação trivial. Portanto o conjunto é linearmente independente. (Observação rápida: outra forma de ver isso é escrever as coordenadas desses polinômios na base
e verificar que as colunas formam uma matriz cujo posto é
; aqui o cálculo direto dos coeficientes já foi suficiente.)
Resposta
Linearmente independente (LI)