Demonstre o Critério de Estabilidade de Nyquist.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente demonstrar o Critério de Estabilidade de Nyquist. Isso faz parte de Controle Clássico e da parte de Análise de Sistemas em Tempo Contínuo. Para resolver, vamos precisar de:
- Definir a função de malha aberta
e a fechada . - Usar o Princípio do Argumento (análise complexa) para contar polos e zeros.
- Entender como um contorno no plano
vira um traçado (Nyquist) no plano de e como isso conta voltas em torno de .
A partir daqui, começamos de fato a prova.
Passo 2
Primeiro, a ideia central: a estabilidade do sistema em malha fechada depende das raízes de
. Essas raízes são os polos de
. Se houver algum polo no semiplano direito (Re
), o sistema é instável. Então queremos contar quantos zeros de
entram no semiplano direito.
Passo 3
Pra contar zeros de
num certo contorno, usamos o Princípio do Argumento:
Se é meromorfa (sem singularidades no contorno) e
é um contorno fechado em
, então
Se
onde
-
é número de zeros de dentro de , -
é número de polos de dentro de , -
é a variação total do argumento de ao percorrer .
Passo 4
Aplicando ao nosso
. Os polos de
são os mesmos polos de
. Chamemos de
o número de polos de
(e de
) no semiplano direito. Queremos achar
, que é o número de zeros de
(i.e., polos de malha fechada) no semiplano direito.
Percorremos o contorno de Nyquist:
- eixo imaginário de
de a , - semicírculo de raio grande no semiplano direito,
- de volta pelo eixo real (ou por aproximações se houver polos sobre o eixo).
Esse contorno mapeia em
e tem variação de argumento que vamos calcular indiretamente pelo gráfico de
.
Passo 5
Note que
é igual a deslocar o ponto
e ver como o vetor de
gira em torno de
. Em vez de traçar
, traçamos o traçado de Nyquist de
e contamos quantas vezes o caminho envolve o ponto
no sentido anti-horário. Esse número é chamado de
.
Pelo Princípio do Argumento:
Passo 6
Reorganizando, chegamos à fórmula do Critério de Nyquist:
onde
-
= número de voltas do traçado de Nyquist de em torno de (positivo se anti-horário); -
= número de polos de no semiplano direito; -
= número de zeros de no semiplano direito (i.e., polos instáveis em malha fechada).
Resposta
O Critério de Estabilidade de Nyquist diz que, para um sistema com função de malha aberta
sem polos no eixo imaginário, o número de polos instáveis em malha fechada
é dado por
onde
é o número de polos de
no semiplano direito e
é o número de voltas que o diagrama de Nyquist de
faz em torno do ponto
no plano
. O sistema em malha fechada será estável se e somente se
, ou seja, se
.