Demonstre o Critério de Estabilidade de Nyquist.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente demonstrar o Critério de Estabilidade de Nyquist. Isso faz parte de Controle Clássico e da parte de Análise de Sistemas em Tempo Contínuo. Para resolver, vamos precisar de:
  1. Definir a função de malha aberta e a fechada .
  2. Usar o Princípio do Argumento (análise complexa) para contar polos e zeros.
  3. Entender como um contorno no plano vira um traçado (Nyquist) no plano de e como isso conta voltas em torno de .
A partir daqui, começamos de fato a prova.

Passo 2

Primeiro, a ideia central: a estabilidade do sistema em malha fechada depende das raízes de . Essas raízes são os polos de . Se houver algum polo no semiplano direito (Re ), o sistema é instável. Então queremos contar quantos zeros de entram no semiplano direito.

Passo 3

Pra contar zeros de Z - P ;=;12piDe num certo contorno, usamos o Princípio do Argumento:
Se é meromorfa (sem singularidades no contorno) e é um contorno fechado em , então
onde
  • é número de zeros de dentro de ,
  • é número de polos de dentro de ,
  • é a variação total do argumento de ao percorrer .

Passo 4

Aplicando ao nosso . Os polos de são os mesmos polos de . Chamemos de o número de polos de (e de ) no semiplano direito. Queremos achar , que é o número de zeros de (i.e., polos de malha fechada) no semiplano direito.
Percorremos o contorno de Nyquist:
  1. eixo imaginário de de a ,
  2. semicírculo de raio grande no semiplano direito,
  3. de volta pelo eixo real (ou por aproximações se houver polos sobre o eixo).
Esse contorno mapeia em e tem variação de argumento que vamos calcular indiretamente pelo gráfico de .

Passo 5

Note que N ;=;De é igual a deslocar o ponto e ver como o vetor de gira em torno de . Em vez de traçar , traçamos o traçado de Nyquist de e contamos quantas vezes o caminho envolve o ponto no sentido anti-horário. Esse número é chamado de .
Pelo Princípio do Argumento:

Passo 6

Reorganizando, chegamos à fórmula do Critério de Nyquist:
Z ;=; N + P,
onde
  • = número de voltas do traçado de Nyquist de em torno de (positivo se anti-horário);
  • = número de polos de no semiplano direito;
  • = número de zeros de no semiplano direito (i.e., polos instáveis em malha fechada).

Resposta

O Critério de Estabilidade de Nyquist diz que, para um sistema com função de malha aberta boxedZ = N + P, sem polos no eixo imaginário, o número de polos instáveis em malha fechada é dado por
onde é o número de polos de no semiplano direito e é o número de voltas que o diagrama de Nyquist de faz em torno do ponto no plano . O sistema em malha fechada será estável se e somente se , ou seja, se .

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