Seja f(z)=i(e^z-1). Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e 0 quando submetido a f(z).

Passo 1

Beleza, o problema manda tomar
f(z)=il(e^z-1r)
e achar a imagem da região
Re(z)<=0, 0
Isso é análise complexa – a gente vai usar que, para z=x+iy,
e^z=e^x+iy=e^x(cos y+isin y),
que multiplicar por i equivale a girar tudo 90^circ no plano, e que somar ou subtrair 1 é só translação.

Passo 2

Definimos
w1=e^z,
Como x<=0, temos |w1|=e^x<=1. E como yin(0,pi], o argumento de w1 fica em (0,pi].
Ou seja, w1 fica exatamente na semi-lua (meio disco) de raio 1 no semiplano superior, sem borde em arg=0 mas com arg=pi.

Passo 3

Agora fazemos
w2=w1-1,
Subtrair 1 desloca tudo uma unidade para a esquerda. Então aquela semi-lua vira um meio disco de raio 1 centrado em -1. Em notação:
|w2+1|<=1, 0

Passo 4

Por fim, definimos
w=i,w2,
Multiplicar por i gira cada ponto em +tfracpi2 (90° CCW). Assim, o meio disco que estava acima do eixo real passa para a esquerda do eixo imaginário. O centro -1 vira -i, o raio continua 1.

Resposta

A imagem de f é o semicírculo (meio disco) de raio 1, centrado em -i, todo contido em Re(w)<=0. Em fórmula:
,win C : |w+i|<=1, Re(w)<=0

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