Esboce o Diagrama de Estabilidade de Nyquist para a função de transferência de malha aberta dada por:
para e
Aproveite e avalie a estabilidade do sistema.
Passo 1
Resumo do enunciado: “Esboce o Diagrama de Estabilidade de Nyquist para
e avalie a estabilidade do sistema.”
Conteúdo: Critério de Nyquist e estabilidade de sistemas de controle.
O que vamos precisar:
- Escrever em termos de parte real e imaginária;
- Entender como varia magnitude e fase quando vai de a ;
- Aplicar o critério de Nyquist (contagem de voltas em torno de ).
Passo 2
Calcular e suas características:
– Magnitude:
– Fase:
ang<= G H(jomega) =-arctan!omega(p1+p2)p1p2-omega^2,
Limites principais:
Para omega=0:G H(0)=1p1p2(ponto no eixo real positivo),ang<==0^circ
- Para omegatoinfty: |G H|to0,ang<=to-180^circ(aproximação ao zero pelo eixo real negativo)çã
Passo 3
Traçando qualitativamente o diagrama de Nyquist:
De omega=0 a infty, o ponto parte de 1/(p1p2) no eixo real positivo.
À medida que omega cresce, a fase cai de 0^circ até quase -180^circ, e o módulo vai de 1/(p1p2) a 0.
A curva entra no quarto quadrante, contorna rumo ao eixo real negativo e termina em zero vindo de ang<=simeq-180^circ.
Ao completar para omega<0 (simetria conjugada), formamos o contorno de Nyquist.
Esse traçado não envolve o ponto -1 nem faz voltas ao seu redor. Logo, o número de encirclements de -1 é
N=0
Passo 4
Usando o Critério de Nyquist:
P= número de polos instáveis de malha aberta = 0 (ambos p1,p2>0 estão no semiplano esquerdo).
N=0 (nenhuma volta em torno de -1).
Então o número de polos instáveis em malha fechada éZ = P - N = 0 - 0 = 0
Como Z=0, não há polos no semiplano direito na malha fechada → sistema estável.
Resposta
O diagrama de Nyquist parte de 1/(p1p2) no real positivo, vai para o zero com ângulo -180^circ sem contornar -1, e, portanto, o sistema em malha fechada é estável.