Esboce o Diagrama de Estabilidade de Nyquist para a função de transferência de malha aberta dada por:
G H(s)=1(s+p1)(s+p2)
para p 1>0 e p2>0
Aproveite e avalie a estabilidade do sistema.

Passo 1

Resumo do enunciado: “Esboce o Diagrama de Estabilidade de Nyquist para
G H(s)=1(s+p1)(s+p2),, p1>0,;p2>0
e avalie a estabilidade do sistema.”
Conteúdo: Critério de Nyquist e estabilidade de sistemas de controle.
O que vamos precisar:
- Escrever G H(jomega) em termos de parte real e imaginária;
- Entender como varia magnitude e fase quando omega vai de 0 a infty;
- Aplicar o critério de Nyquist (contagem de voltas em torno de -1).

Passo 2

Calcular G H(jomega) e suas características:
G H(jomega) =1(jomega+p1)(jomega+p2) =1p1p2-omega^2+j,omega,(p1+p2),
– Magnitude:
l|G H(jomega)r| =1raiz(p1p2-omega^2)^2+l[omega(p1+p2)r]^2,
– Fase:
ang<= G H(jomega) =-arctan!omega(p1+p2)p1p2-omega^2,
Limites principais:
  • Para omega=0: G H(0)=1p1p2(ponto no eixo real positivo),ang<==0^circ
    - Para omegatoinfty:
    |G H|to0,ang<=to-180^circ(aproximação ao zero pelo eixo real negativo)çã

Passo 3

Traçando qualitativamente o diagrama de Nyquist:
  1. De omega=0 a infty, o ponto parte de 1/(p1p2) no eixo real positivo.
  2. À medida que omega cresce, a fase cai de 0^circ até quase -180^circ, e o módulo vai de 1/(p1p2) a 0.
  3. A curva entra no quarto quadrante, contorna rumo ao eixo real negativo e termina em zero vindo de ang<=simeq-180^circ.
  4. Ao completar para omega<0 (simetria conjugada), formamos o contorno de Nyquist.
Esse traçado não envolve o ponto -1 nem faz voltas ao seu redor. Logo, o número de encirclements de -1 é
N=0

Passo 4

Usando o Critério de Nyquist:
  • P= número de polos instáveis de malha aberta = 0 (ambos p1,p2>0 estão no semiplano esquerdo).
  • N=0 (nenhuma volta em torno de -1).
  • Então o número de polos instáveis em malha fechada é Z = P - N = 0 - 0 = 0
    Como Z=0, não há polos no semiplano direito na malha fechada → sistema estável.

Resposta

O diagrama de Nyquist parte de 1/(p1p2) no real positivo, vai para o zero com ângulo -180^circ sem contornar -1, e, portanto, o sistema em malha fechada é estável.

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