Esboce o Diagrama de Estabilidade de Nyquist para
, para
. Aproveite e avalie a estabilidade do sistema.
Passo 1
Resumo do problema: a gente precisa traçar o diagrama de Nyquist da função de malha aberta
e, a partir dele, dizer se o sistema em realimentação unitária fica estável ou não.
Conteúdo: critério de estabilidade de Nyquist.
O que vamos usar:
Conteúdo: critério de estabilidade de Nyquist.
O que vamos usar:
- Identificar os polos de
, - Escrever
em módulo e fase, - Desenhar o traçado principal (parte de eixo imaginário) e sua simetria,
- Contar quantas voltas o traçado dá em torno de
(encirclements) e aplicar .
Passo 2
Identificação de polos de
:
- Quatro polos em
(multiplicidade 4), - Um polo em
(ficam no semiplano esquerdo).
Não há polos em semiplano direito, mas como há polos no eixo imaginário () a gente faz pequenos desvios nessa região.
Agora substituímos
:
porque
.
Passo 3
Módulo e fase de
:
- Módulo:
- Fase:
pois é real positivo e não muda a fase.
Limites importantes:
- Para
:
e . - Para
:
e .
Passo 4
Esboço do traçado principal (
):
- Começa em infinito sobre o eixo real positivo, com ângulo
. - Conforme
cresce, o ponto vai descendo desde até , aproximando-se da origem. - No fim, em
, atinge a origem vindo de baixo (ângulo ).
Depois faço a parte de
, que é a reflexão conjugada desse trecho (sobe de
até
de volta ao infinito).
Também coloco pequenos semi-círculos desviando o traçado ao redor de .
Também coloco pequenos semi-círculos desviando o traçado ao redor de
O resultado é um “loop” em forma de gota simétrico em relação ao eixo real, que passa pelo infinito positivo e mergulha na origem.
Passo 5
Contagem de polos em
:
(nenhum polo de
em semiplano direito).
Encirclements de
:
Devido aos desvios ao redor dos polos em zero e ao formato do laço, o traçado vai envolver o ponto duas vezes no sentido horário (ou seja,
se você contar anti-horário).
Devido aos desvios ao redor dos polos em zero e ao formato do laço, o traçado vai envolver o ponto
Pelo critério de Nyquist para sistema em malha fechada:
Isso significa que fechada a realimentação, aparecem 2 polos no semiplano direito (sinal de instabilidade).
Resposta
O diagrama de Nyquist é um laço em forma de “gota” partindo do infinito em
, curvando até
na origem e retornando simetricamente, com pequenos desvios em torno de
. Ele encerra o ponto
duas vezes no sentido horário, o que leva a
polos de malha fechada no RHP. Portanto, o sistema em realimentação unitária é instável.