Esboce o Diagrama de Estabilidade de Nyquist para G H(s)=1s^4(s+p), para p>0. Aproveite e avalie a estabilidade do sistema.

Passo 1

Resumo do problema: a gente precisa traçar o diagrama de Nyquist da função de malha aberta
GH(s)=1s^4,(s+p), p>0,
e, a partir dele, dizer se o sistema em realimentação unitária fica estável ou não.
Conteúdo: critério de estabilidade de Nyquist.
O que vamos usar:
  • Identificar os polos de ,
  • Escrever em módulo e fase,
  • Desenhar o traçado principal (parte de eixo imaginário) e sua simetria,
  • Contar quantas voltas o traçado dá em torno de (encirclements) e aplicar .

Passo 2

Identificação de polos de GH(jomega) =1(jomega)^4,(jomega+p) =1omega^4,(jomega+p), :
  • Quatro polos em (multiplicidade 4),
  • Um polo em (ficam no semiplano esquerdo).
    Não há polos em semiplano direito, mas como há polos no eixo imaginário ( ) a gente faz pequenos desvios nessa região.
Agora substituímos :
porque .

Passo 3

Módulo e fase de |GH(jomega)|=1omega^4raizomega^2+p^2, :
  • Módulo: ang<= GH(jomega) =-ang<=l(jomega+pr) =-arctanomegap,,
  • Fase: pois é real positivo e não muda a fase.
Limites importantes:
  • Para :
    e .
  • Para :
    e .

Passo 4

Esboço do traçado principal ( ):
  1. Começa em infinito sobre o eixo real positivo, com ângulo .
  2. Conforme cresce, o ponto vai descendo desde até , aproximando-se da origem.
  3. No fim, em , atinge a origem vindo de baixo (ângulo ).
Depois faço a parte de , que é a reflexão conjugada desse trecho (sobe de até de volta ao infinito).
Também coloco pequenos semi-círculos desviando o traçado ao redor de .
O resultado é um “loop” em forma de gota simétrico em relação ao eixo real, que passa pelo infinito positivo e mergulha na origem.

Passo 5

Contagem de polos em Z ;=; N + P ;=; -2 + 0 ;=; -2 :
(nenhum polo de em semiplano direito).
Encirclements de :
Devido aos desvios ao redor dos polos em zero e ao formato do laço, o traçado vai envolver o ponto duas vezes no sentido horário (ou seja, se você contar anti-horário).
Pelo critério de Nyquist para sistema em malha fechada:
Isso significa que fechada a realimentação, aparecem 2 polos no semiplano direito (sinal de instabilidade).

Resposta

O diagrama de Nyquist é um laço em forma de “gota” partindo do infinito em , curvando até na origem e retornando simetricamente, com pequenos desvios em torno de . Ele encerra o ponto duas vezes no sentido horário, o que leva a polos de malha fechada no RHP. Portanto, o sistema em realimentação unitária é instável.

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