Demonstre os critérios de divisibilidade por 4, por 5 e por 6.
Passo 1
O enunciado pede que a gente demonstre os critérios de divisibilidade por 4, por 5 e por 6. O conteúdo que vamos usar é a representação decimal de um inteiro, o algoritmo da divisão (para extrair o último dígito ou os dois últimos dígitos) e propriedades de restos (modular). A partir daí vamos provar cada critério.
Passo 2
Critério de divisibilidade por 4. Seja
um inteiro não negativo. Pela divisão por
, existem inteiros
e
tais que
Como
é múltiplo de 4, concluímos que
isto é,
é divisível por 4 se, e somente se, o resto
também for divisível por 4. Mas
é exatamente o número formado pelos dois últimos dígitos de
. Logo,
é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos for divisível por 4.
Passo 3
Critério de divisibilidade por 5. Seja
novamente um inteiro não negativo. Aplicando a divisão por
, existem inteiros
e
tais que
Como
é múltiplo de 5, temos
Logo,
é divisível por 5 se, e somente se,
(o último dígito de
) for divisível por 5. Os únicos dígitos entre 0 e 9 divisíveis por 5 são
e
. Portanto,
é divisível por 5 exatamente quando seu último dígito for
ou
.
Passo 4
Critério de divisibilidade por 6. Como
e
, um inteiro
é divisível por 6 se, e somente se, for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
- Para 2:
é divisível por 2 quando seu último dígito é par (ou seja, está em ). - Para 3: o critério clássico diz que
é divisível por 3 se, e somente se, a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 3.
Combinando,
é divisível por 6 exatamente quando satisfaz os dois testes acima.
Resposta
Critérios de divisibilidade:
– Por 4: o número formado pelos dois últimos dígitos deve ser divisível por 4.
– Por 5: o último dígito deve ser 0 ou 5.
– Por 6: o número deve ser divisível por 2 (último dígito par) e por 3 (soma dos dígitos múltipla de 3).