Demonstre os critérios de divisibilidade por 4, por 5 e por 6.

Passo 1

O enunciado pede que a gente demonstre os critérios de divisibilidade por 4, por 5 e por 6. O conteúdo que vamos usar é a representação decimal de um inteiro, o algoritmo da divisão (para extrair o último dígito ou os dois últimos dígitos) e propriedades de restos (modular). A partir daí vamos provar cada critério.

Passo 2

Critério de divisibilidade por 4. Seja N um inteiro não negativo. Pela divisão por 100, existem inteiros q e r tais que
N = 100q + r, \quad 0 \le r < 100.
Como 100=4\cdot 25 é múltiplo de 4, concluímos que
N \equiv r \pmod{4},
isto é, N é divisível por 4 se, e somente se, o resto r também for divisível por 4. Mas r é exatamente o número formado pelos dois últimos dígitos de N. Logo, N é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos for divisível por 4.

Passo 3

Critério de divisibilidade por 5. Seja N novamente um inteiro não negativo. Aplicando a divisão por 10, existem inteiros q e d tais que
N = 10q + d, \quad 0 \le d < 10.
Como 10=5\cdot 2 é múltiplo de 5, temos
N \equiv d \pmod{5}.
Logo, N é divisível por 5 se, e somente se, d (o último dígito de N) for divisível por 5. Os únicos dígitos entre 0 e 9 divisíveis por 5 são 0 e 5. Portanto, N é divisível por 5 exatamente quando seu último dígito for 0 ou 5.

Passo 4

Critério de divisibilidade por 6. Como 6 = 2 \cdot 3 e \gcd(2,3)=1, um inteiro N é divisível por 6 se, e somente se, for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
  • Para 2: N é divisível por 2 quando seu último dígito é par (ou seja, está em \{0,2,4,6,8\}).
  • Para 3: o critério clássico diz que N é divisível por 3 se, e somente se, a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 3.
Combinando, N é divisível por 6 exatamente quando satisfaz os dois testes acima.

Resposta

Critérios de divisibilidade:
– Por 4: o número formado pelos dois últimos dígitos deve ser divisível por 4.
– Por 5: o último dígito deve ser 0 ou 5.
– Por 6: o número deve ser divisível por 2 (último dígito par) e por 3 (soma dos dígitos múltipla de 3).

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