Mostre que se a for um inteiro a^{2}-2 não é divisível por 4 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro a, a expressão a^2-2 nunca é múltiplo de 4. O conteúdo principal é aritmética modular (ou análise de paridade), sabendo que quadrados de inteiros são congruentes a 0 ou 1 módulo 4.

Passo 2

Suponha que a seja par. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que a=2k. Logo,
a^2-2=(2k)^2-2=4k^2-2.
Como 4k^2 é múltiplo de 4, segue que
a^2-2\equiv -2\equiv 2\pmod{4},
ou seja, não é divisível por 4.

Passo 3

Suponha agora que a seja ímpar. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que a=2k+1. Assim,
a^2-2=(2k+1)^2-2=4k^2+4k+1-2=4k^2+4k-1.
Daí
a^2-2\equiv -1\equiv 3\pmod{4},
também não múltiplo de 4.

Resposta

Em ambos os casos a^2-2\not\equiv0\pmod4, logo para todo inteiro a, 4 não divide a^2-2.

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