Determine critérios de divisibilidade por 7 , por 8 e por 10 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar critérios de divisibilidade por 7, por 8 e por 10. O conteúdo é teoria de números, mais precisamente testes rápidos de divisibilidade em base decimal. Vamos usar propriedades de restos módulo cada divisor para formular regras práticas.

Passo 2

Para 10 note que qualquer número N em base decimal se escreve como
N = 10M + d,
onde d é o último dígito e M é o número formado pelos demais dígitos. Como 10M é sempre múltiplo de 10, concluímos que N é divisível por 10 se e somente se o último dígito d for zero. Assim: N divisível por 10 ⇔ último dígito d = 0.

Passo 3

Para 8 usamos que 1000 = 10^3 é múltiplo de 8. Portanto, se escrevermos N em decimal, ele se separa em duas partes:
N = 1000Q + r,
onde r é o número formado pelos três últimos dígitos de N. Como 1000Q é divisível por 8, resta verificar r. Logo: N divisível por 8 ⇔ os três últimos dígitos formam um número r que é múltiplo de 8.

Passo 4

Para 7 usamos um truque modular. Seja
N = 10M + d,
com d o último dígito e M o resto. Queremos uma expressão equivalente a N\equiv0\pmod7. Como 10\equiv3\pmod7, multiplica-se por 5 (pois 3\cdot5=15\equiv1\pmod7), obtendo
5N = 50M + 5d\equiv M + 5d\pmod7.
Como 5d\equiv -2d\pmod7, temos
N\equiv0\pmod7 \iff M - 2d \equiv 0\pmod7.
Então o teste prático é: elabora-se o número M - 2d; ele é divisível por 7 se e somente se N também for. Pode-se repetir o processo até chegar a um número pequeno.

Resposta

Critério de divisibilidade:
  1. Por 7: se N tem último dígito d e resto M, então calcular M - 2d. Se este for múltiplo de 7, então N é.
  2. Por 8: basta verificar se o número formado pelos três últimos dígitos de N é múltiplo de 8.
  3. Por 10: N é divisível por 10 se e somente se seu último dígito for zero.

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