Demonstre que:
(d) 81 \mid\left(10^{n+1}-9 n-10\right), \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede que se prove que a seguinte afirmação é verdadeira para todo n natural:
81 \mid \bigl(10^{n+1}-9n-10\bigr).
Informações dadas:
  • A expressão a testar é 10^{n+1}-9n-10.
  • O divisor que queremos é 81.
  • A afirmação deve valer para todo n\in\mathbb{N}.
O objetivo é mostrar que, para cada n\in\mathbb{N}, o número 10^{n+1}-9n-10 é múltiplo de 81.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e intuitiva).
Uma forma natural de provar que uma propriedade que envolve um inteiro n vale para todo n é usar indução matemática: mostramos primeiro que a propriedade vale para um caso base (por exemplo n=1 ou n=0), e depois mostramos que, se vale para um n=k, então vale para n=k+1. Aqui essa estratégia funciona bem porque a expressão para n+1 se relaciona de maneira simples com a expressão para n ao multiplicarmos por 10. Vou usar indução.

Passo 3

Base da indução.
Vou verificar a propriedade para n=1. Calcular a expressão:
10^{1+1}-9\cdot1-10 = 10^{2}-9-10 = 100-19 = 81.
Como 81 é múltiplo de 81, a propriedade vale para n=1. (Observação: se a sua definição de \mathbb{N} incluir 0, para n=0 temos 10^{0+1}-9\cdot0-10=10-0-10=0, que também é múltiplo de 81.)

Passo 4

Enunciado da hipótese de indução.
Suponha que para algum k\in\mathbb{N} a propriedade seja verdadeira, ou seja, exista um inteiro m tal que
10^{k+1}-9k-10 = 81m.
Esta é a hipótese de indução. O objetivo agora é deduzir, a partir dela, que a propriedade vale para n=k+1.

Passo 5

Passo indutivo: deduzir o caso n=k+1.
Começamos escrevendo a expressão que precisamos provar ser múltiplo de 81:
10^{(k+1)+1}-9(k+1)-10 = 10^{k+2}-9k-9-10.
Agora usamos a hipótese de indução que nos dá uma expressão para 10^{k+1}. Da hipótese:
10^{k+1} = 9k+10 + 81m.
Multiplicamos ambos os lados por 10 (isso nos dá 10^{k+2}):
10^{k+2} = 10(10^{k+1}) = 10(9k+10+81m) = 90k + 100 + 810m.
Substituímos esse valor em 10^{k+2}-9k-9-10:
\begin{aligned} 10^{k+2}-9k-9-10 &= (90k + 100 + 810m) -9k -9 -10 \\\ &= (90k-9k) + (100-9-10) + 810m \\\ &= 81k + 81 + 810m \\\ &= 81(k+1+10m). \end{aligned}
O último passo mostra que 10^{k+2}-9(k+1)-10 é igual a 81 vezes o inteiro k+1+10m. Portanto é múltiplo de 81.

Passo 6

Conclusão da indução.
Mostramos que a propriedade vale para o caso base n=1 e que, assumindo que vale para n=k, ela vale para n=k+1. Pelo princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

A afirmação é verdadeira: 81 \mid \bigl(10^{n+1}-9n-10\bigr) para todo n\in\mathbb{N}.

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