Demonstre que:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede que se prove que a seguinte afirmação é verdadeira para todo
natural:
Informações dadas:
- A expressão a testar é
. - O divisor que queremos é
. - A afirmação deve valer para todo
.
O objetivo é mostrar que, para cada
, o número
é múltiplo de
.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e intuitiva).
Uma forma natural de provar que uma propriedade que envolve um inteiro vale para todo
é usar indução matemática: mostramos primeiro que a propriedade vale para um caso base (por exemplo
ou
), e depois mostramos que, se vale para um
, então vale para
. Aqui essa estratégia funciona bem porque a expressão para
se relaciona de maneira simples com a expressão para
ao multiplicarmos por
. Vou usar indução.
Uma forma natural de provar que uma propriedade que envolve um inteiro
Passo 3
Base da indução.
Vou verificar a propriedade para . Calcular a expressão:
Vou verificar a propriedade para
Como
é múltiplo de
, a propriedade vale para
. (Observação: se a sua definição de
incluir
, para
temos
, que também é múltiplo de
.)
Passo 4
Enunciado da hipótese de indução.
Suponha que para algum a propriedade seja verdadeira, ou seja, exista um inteiro
tal que
Suponha que para algum
Esta é a hipótese de indução. O objetivo agora é deduzir, a partir dela, que a propriedade vale para
.
Passo 5
Passo indutivo: deduzir o caso
.
Começamos escrevendo a expressão que precisamos provar ser múltiplo de :
Começamos escrevendo a expressão que precisamos provar ser múltiplo de
Agora usamos a hipótese de indução que nos dá uma expressão para
. Da hipótese:
Multiplicamos ambos os lados por
(isso nos dá
):
Substituímos esse valor em
:
O último passo mostra que
é igual a
vezes o inteiro
. Portanto é múltiplo de
.
Passo 6
Conclusão da indução.
Mostramos que a propriedade vale para o caso base e que, assumindo que vale para
, ela vale para
. Pelo princípio da indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
.
Mostramos que a propriedade vale para o caso base
Resposta
A afirmação é verdadeira:
para todo
.