Demonstre que:
(a) 3 \mid\left(2^{2 n}-1\right), \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a afirmação seguinte para todo n\in\mathbb{N}:
3 \mid \left(2^{2n}-1\right).
Informações dadas:
  • A variável n percorre os números naturais, n\in\mathbb{N}.
  • A expressão que precisamos provar divisível por 3 é 2^{2n}-1.

Passo 2

Entendendo o que significa “divisibilidade” e uma ferramenta útil (congruência modular).
  • Definição de divisibilidade: dizer que 3\mid a significa que existe um inteiro k tal que a=3k. Ou seja, o resto da divisão de a por 3 é zero.
  • Definição e propriedade de congruência: escrever a\equiv b\pmod{3} significa que 3\mid(a-b). Uma propriedade essencial que vamos usar é: se a\equiv b\pmod{m} então, para qualquer inteiro r\ge1,
    a^{r}\equiv b^{r}\pmod{m}.
    Intuição rápida por que isso vale: se a=b+mt então ao elevar à potência r os termos que envolvem mt ficam com fator m em todas as parcelas exceto b^{r}, logo a^{r}-b^{r} é múltiplo de m.
Vou aplicar essas no nosso caso com m=3.

Passo 3

Calculemos 2^{2} e comparemos com 1 módulo 3.
2^{2}=4.
Como 4-1=3 é múltiplo de 3, temos
2^{2}\equiv 1\pmod{3}.
Agora use a propriedade de potências da congruência. Escrevendo 2^{2n}=(2^{2})^{n}, obtemos:
2^{2n}=(2^{2})^{n}\equiv 1^{n}\pmod{3}.
Mas 1^{n}=1 para todo n. Logo
2^{2n}\equiv 1\pmod{3}.
Subtraindo 1 dos dois lados da congruência:
2^{2n}-1\equiv 0\pmod{3},
o que significa exatamente que 3\mid(2^{2n}-1). Isso prova a afirmação para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 4

Prova alternativa por indução (útil para treinar técnica de prova por indução).
  • Base ( n=1): 2^{2\cdot 1}-1=2^{2}-1=4-1=3, que é múltiplo de 3. Logo a base vale.
  • Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha 3\mid(2^{2k}-1). Então existe inteiro m tal que
    2^{2k}-1=3m.
    Considere n=k+1:
    2^{2(k+1)}-1=2^{2k+2}-1=4\cdot 2^{2k}-1.
    Reescrevendo 4 como 3+1
    4\cdot 2^{2k}-1=(3+1)\cdot 2^{2k}-1=3\cdot 2^{2k} + (2^{2k}-1).
    Pela hipótese indutiva 2^{2k}-1=3m, então
    3\cdot 2^{2k} + (2^{2k}-1)=3\cdot 2^{2k} + 3m = 3\cdot(2^{2k}+m),
    que é múltiplo de 3. Assim a propriedade vale para k+1. Pela indução, vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 5

Alguns exemplos numéricos para ganhar intuição (verificando casos pequenos):
  • Para n=1: 2^{2}-1=3, múltiplo de 3.
  • Para n=2: 2^{4}-1=16-1=15, múltiplo de 3 (porque 15=3\cdot5).
  • Para n=3: 2^{6}-1=64-1=63, múltiplo de 3 (porque 63=3\cdot21).
Esses exemplos concordam com a prova geral.

Resposta

3\mid\left(2^{2n}-1\right)

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