Demonstre que:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a afirmação seguinte para todo
:
Informações dadas:
- A variável
percorre os números naturais, . - A expressão que precisamos provar divisível por
é .
Passo 2
Entendendo o que significa “divisibilidade” e uma ferramenta útil (congruência modular).
-
Definição de divisibilidade: dizer que
significa que existe um inteiro tal que . Ou seja, o resto da divisão de por é zero. -
Definição e propriedade de congruência: escrever
significa que . Uma propriedade essencial que vamos usar é: se então, para qualquer inteiro , Intuição rápida por que isso vale: seentão ao elevar à potência os termos que envolvem ficam com fator em todas as parcelas exceto , logo é múltiplo de .
Vou aplicar essas no nosso caso com
.
Passo 3
Calculemos
e comparemos com
módulo
.
Como
é múltiplo de
, temos
Agora use a propriedade de potências da congruência. Escrevendo
, obtemos:
Mas
para todo
. Logo
Subtraindo
dos dois lados da congruência:
o que significa exatamente que
. Isso prova a afirmação para todo
.
Passo 4
Prova alternativa por indução (útil para treinar técnica de prova por indução).
-
Base (
): , que é múltiplo de . Logo a base vale. -
Passo indutivo: suponha que para algum
valha . Então existe inteiro tal que Considere: Reescrevendocomo dá Pela hipótese indutiva, então que é múltiplo de. Assim a propriedade vale para . Pela indução, vale para todo .
Passo 5
Alguns exemplos numéricos para ganhar intuição (verificando casos pequenos):
- Para
: , múltiplo de . - Para
: , múltiplo de (porque ). - Para
: , múltiplo de (porque ).
Esses exemplos concordam com a prova geral.