Calcule as integrais abaino:
\int_{-3}^{0} x^{2}-4 x+7 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-3}^{0} \left(x^{2}-4x+7\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }x^{2}-4x+7,\quad \text{limites de integração: }-3\text{ (inferior)}\text{ e }0\text{ (superior).}çã

Passo 2

Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: para uma função contínua f e uma antiderivada F de f (ou seja, F' = f), vale
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Também usaremos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Isso permite tratar cada termo do polinômio separadamente.

Passo 3

Precisamos achar uma antiderivada de cada termo usando a regra da potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(\text{para }n\neq -1).
Aplicando termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int (-4x)\,dx = -4\int x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2},
\int 7\,dx = 7x.
Assim uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+7x.
(Para integral definida a constante C não importa.)

Passo 4

Agora avaliamos F nos limites 0 e -3.
Calcule F(0):
F(0)=\frac{0^{3}}{3}-2\cdot 0^{2}+7\cdot 0=0.
Calcule F(-3) passo a passo:
\frac{(-3)^{3}}{3}=\frac{-27}{3}=-9,
-2(-3)^{2}=-2\cdot 9=-18,
7(-3)=-21.
Somando os termos:
F(-3) = -9-18-21 = -48.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-3}^{0} \left(x^{2}-4x+7\right)\,dx = F(0)-F(-3)=0-(-48)=48.
Observação rápida para conferir: em [-3,0] o integrando é positivo (pois x^{2}\ge0, -4x>0 quando x<0 e 7>0), então faz sentido que a integral (área) seja positiva.

Resposta

48

Exercícios relacionados