Demonstre como se determina o volume e a densidade de um determinado sólido que cristaliza em sistemas:
cubo simples; (raio " r ", aresta " a ").

Passo 1

O enunciado pede que se determine o volume e a densidade de um sólido que cristaliza no sistema cubo simples. Os dados fornecidos são:
  • raio atômico: r;
  • aresta da célula unitária: a.
O que se quer obter (resumo claro):
  • o volume da célula unitária (em função de a e, quando aplicável, de r);
  • a densidade do sólido (em função de a, de r e das quantidades macroscópicas necessárias, por exemplo massa molar).
Informações físicas/constantes que serão usadas (não fornecidas no enunciado, mas necessárias para escrever a densidade):
  • massa molar do elemento: M (unidade: \mathrm{kg\cdot mol^{-1}} ou \mathrm{g\cdot mol^{-1}});
  • número de Avogadro: N_A (constante, aproximadamente 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}).

Passo 2

Conceito: célula unitária e volume da célula unitária.
  • A célula unitária é o menor bloco repetitivo que, ao ser repetido por translação no espaço, reconstrói toda a rede cristalina.
  • Para um cubo simples a célula unitária é um cubo de aresta a.
    Logo, o volume da célula unitária é simplesmente o volume do cubo:
V_{\text{cel}} = a^{3}.
Isto é uma fórmula direta: a aresta elevada ao cubo dá o volume do cubo.

Passo 3

Relação geométrica entre a e r no cubo simples.
  • No cubo simples os átomos estão localizados nos oito cantos da célula unitária.
  • Os átomos que se tocam em um cubo simples fazem isso ao longo da aresta do cubo (vértice a vértice ao longo da aresta). Portanto, dois raios adjacentes somam a aresta:
a = 2r.
  • Substituindo na expressão do volume da célula unitária obtemos o volume em função de r:
V_{\text{cel}} = a^{3} = (2r)^{3} = 8\,r^{3}.

Passo 4

Contagem efetiva de átomos por célula unitária no cubo simples.
  • Cada célula unitária tem 8 cantos e em cada canto há a presença de um átomo inteiro, porém esse átomo é compartilhado por 8 células adjacentes (cada vértice pertence a 8 células).
  • Assim, a contribuição efetiva de cada átomo na célula é 1/8.
  • Número total de átomos efetivos por célula unitária:
n = 8 \times \frac{1}{8} = 1.
Portanto, há 1 átomo por célula unitária no cubo simples.

Passo 5

Massa associada à célula unitária.
  • A massa de um átomo isolado é \dfrac{M}{N_A}, onde M é a massa molar e N_A é o número de Avogadro.
  • Como há n átomos efetivos por célula, a massa da célula unitária é
m_{\text{cel}} = n\cdot\frac{M}{N_A}.
  • Para o cubo simples n=1, logo
m_{\text{cel}} = \frac{M}{N_A}.

Passo 6

Definição e cálculo da densidade.
  • A densidade macroscópica \rho é definida como massa por volume. Aplicando isso à célula unitária:
\rho = \frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}}.
  • Substituindo as expressões que encontramos:
\rho = \frac{n\cdot \dfrac{M}{N_A}}{a^{3}}.
  • Para o cubo simples, com n=1 e usando a=2r, obtemos
\rho = \frac{1\cdot \dfrac{M}{N_A}}{(2r)^{3}} = \frac{M}{N_A\,(2r)^{3}} = \frac{M}{8\,N_A\,r^{3}}.
  • Se preferir manter em termos de a (sem substituir a=2r), a fórmula geral é
\rho = \frac{M}{N_A\,a^{3}}.

Passo 7

Volume efetivamente ocupado pelos átomos na célula (fatia didática extra: fração de empacotamento).
  • Volume de um átomo (assumindo esfera de raio r): \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Como há n=1 átomo efetivo por célula, volume total ocupado por núcleos eletrônicos na célula é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Fração de empacotamento (packing fraction) é
\eta = \frac{\text{volume ocupado pelos átomos}}{V_{\text{cel}}} = \frac{\dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{(2r)^{3}} = \frac{\dfrac{4}{3}\pi r^{3}}{8 r^{3}} = \frac{\pi}{6}\approx 0{,}524.á
  • Isso mostra que, no cubo simples, aproximadamente 52{,}4\% do volume da célula é ocupado pelas esferas atômicas ideais.

Resposta

Volume da célula unitária: V_{\text{cel}} = a^{3} = (2r)^{3} = 8\,r^{3}
Densidade do sólido (cubo simples): \displaystyle \rho = \frac{M}{N_A\,a^{3}} = \frac{M}{8\,N_A\,r^{3}}

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