Demonstre como se determina o volume e a densidade de um determinado sólido que cristaliza em sistemas:
cubo simples; (raio " r ", aresta " a ").
cubo simples; (raio " r ", aresta " a ").
Passo 1
O enunciado pede que se determine o volume e a densidade de um sólido que cristaliza no sistema cubo simples. Os dados fornecidos são:
- raio atômico:
; - aresta da célula unitária:
.
O que se quer obter (resumo claro):
- o volume da célula unitária (em função de
e, quando aplicável, de ); - a densidade do sólido (em função de
, de e das quantidades macroscópicas necessárias, por exemplo massa molar).
Informações físicas/constantes que serão usadas (não fornecidas no enunciado, mas necessárias para escrever a densidade):
- massa molar do elemento:
(unidade: ou ); - número de Avogadro:
(constante, aproximadamente ).
Passo 2
Conceito: célula unitária e volume da célula unitária.
- A célula unitária é o menor bloco repetitivo que, ao ser repetido por translação no espaço, reconstrói toda a rede cristalina.
- Para um cubo simples a célula unitária é um cubo de aresta
.
Logo, o volume da célula unitária é simplesmente o volume do cubo:
Isto é uma fórmula direta: a aresta elevada ao cubo dá o volume do cubo.
Passo 3
Relação geométrica entre
e
no cubo simples.
- No cubo simples os átomos estão localizados nos oito cantos da célula unitária.
- Os átomos que se tocam em um cubo simples fazem isso ao longo da aresta do cubo (vértice a vértice ao longo da aresta). Portanto, dois raios adjacentes somam a aresta:
- Substituindo na expressão do volume da célula unitária obtemos o volume em função de
:
Passo 4
Contagem efetiva de átomos por célula unitária no cubo simples.
- Cada célula unitária tem 8 cantos e em cada canto há a presença de um átomo inteiro, porém esse átomo é compartilhado por 8 células adjacentes (cada vértice pertence a 8 células).
- Assim, a contribuição efetiva de cada átomo na célula é
. - Número total de átomos efetivos por célula unitária:
Portanto, há
átomo por célula unitária no cubo simples.
Passo 5
Massa associada à célula unitária.
- A massa de um átomo isolado é
, onde é a massa molar e é o número de Avogadro. - Como há
átomos efetivos por célula, a massa da célula unitária é
- Para o cubo simples
, logo
Passo 6
Definição e cálculo da densidade.
- A densidade macroscópica
é definida como massa por volume. Aplicando isso à célula unitária:
- Substituindo as expressões que encontramos:
- Para o cubo simples, com
e usando , obtemos
- Se preferir manter em termos de
(sem substituir ), a fórmula geral é
Passo 7
Volume efetivamente ocupado pelos átomos na célula (fatia didática extra: fração de empacotamento).
- Volume de um átomo (assumindo esfera de raio
): . - Como há
átomo efetivo por célula, volume total ocupado por núcleos eletrônicos na célula é . - Fração de empacotamento (packing fraction) é
- Isso mostra que, no cubo simples, aproximadamente
do volume da célula é ocupado pelas esferas atômicas ideais.
Resposta
Volume da célula unitária:
Densidade do sólido (cubo simples):
Densidade do sólido (cubo simples):