Demonstre como se determina o volume e a densidade de um determinado sólido que cristaliza em sistemas:
cubo de face centrada; (raio " r ", aresta " a ").

Passo 1

O enunciado dá que o sólido cristaliza no sistema cubo de face centrada (FCC) e fornece as grandezas:
  • raio atômico: r (raio da esfera que modela cada átomo);
  • aresta da cela unitária: a.
O que se pede:
  • determinar o volume da cela unitária (em função de a e, depois, em função de r);
  • determinar a densidade do sólido (expressão geral em função da massa molar M, de N_A e das grandezas a ou r).
Informações úteis que vêm do enunciado: apenas os símbolos r e a são dados; a densidade típica envolve também a massa molar M e a constante de Avogadro N_A (esses aparecem na expressão final da densidade).

Passo 2

Entender a geometria do FCC e a relação entre a e r.
Explicação física e geométrica (passo-a-passo, sem pular):
  • No modelo de esferas rígidas, cada átomo é uma esfera de raio r.
  • Na estrutura cubo de face centrada (FCC) há um átomo em cada um dos 8 vértices do cubo e um átomo centrado em cada uma das 6 faces.
  • Ao olhar para uma face do cubo, os centros dos átomos dos dois vértices opostos e do átomo no centro da face estão alinhados ao longo da diagonal da face.
  • Esses três átomos (vértice — face — vértice) tocam-se consecutivamente: cada contato é entre duas esferas de raio r. Então, o comprimento total ao longo da diagonal da face, medido entre os centros dos dois átomos de vértice, é a soma de três distâncias centro-a-centro: 2r (vértice → centro da face) + 2r (centro da face → outro vértice) = 4r.
Geometria da face:
  • Uma face é um quadrado de lado a. A diagonal desse quadrado tem comprimento \sqrt{2}\,a.
Igualando as duas expressões para a diagonal da face obtemos a relação entre a e r:
\sqrt{2}\,a = 4r.

Passo 3

Isolar a a partir de \sqrt{2}\,a = 4r.
Resolvendo:
a = \frac{4r}{\sqrt{2}}.
Simplificando a fração:
a = 2\sqrt{2}\,r.
Explicação do passo: multiplicou-se numerador e denominador por racionalização implícita, ou simplesmente observou-se que \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 4\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular o volume da cela unitária V_{\text{cel}}.
Por definição geométrica, o volume do cubo de aresta a é:
V_{\text{cel}} = a^3.
Substituindo a = 2\sqrt{2}\,r:
V_{\text{cel}} = \bigl(2\sqrt{2}\,r\bigr)^3.
Calculemos o cubo:
\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}.
Portanto:
V_{\text{cel}} = 16\sqrt{2}\,r^3.
Observação prática para prova: primeiro expressa a em função de r, depois faz a^3 — assim evita esquecer fatores numéricos.

Passo 5

Determinar quantos átomos pertencem efetivamente a uma cela unitária FCC (fator de ocupação Z).
Contagem detalhada:
  • Átomos nos 8 vértices: cada átomo de vértice é compartilhado por 8 células unitárias, então a contribuição por célula é 8 \times \tfrac{1}{8} = 1.
  • Átomos nas 6 faces: cada átomo de face é compartilhado por 2 células (duas faces vizinhas), então a contribuição por célula é 6 \times \tfrac{1}{2} = 3.
Somando as contribuições:
Z = 1 + 3 = 4.
Interpretação: há o equivalente a 4 átomos inteiros por cela unitária FCC.

Passo 6

Expressar a massa por cela e a densidade.
Definições úteis:
  • M = massa molar do elemento/composto (unidade: \text{g mol}^{-1} ou \text{kg mol}^{-1});
  • N_A = constante de Avogadro (número de átomos por mol);
  • massa de um átomo: m_{\text{átomo}} = \dfrac{M}{N_A}á.
Massa por cela unitária:
m_{\text{cel}} = Z \cdot m_{\text{átomo}} = Z \cdot \frac{M}{N_A}.á
Densidade \rho (massa por volume) da rede cristalina:
\rho = \frac{m_{\text{cel}}}{V_{\text{cel}}} = \frac{Z\,M/N_A}{a^3}.
Substituindo Z=4 e, se desejar, a expressão de a^3 em função de r:
  • expressão em função de a:
\rho = \frac{4M}{N_A\,a^3}.
  • expressão em função de r substituindo a^3=16\sqrt{2}\,r^3:
\rho = \frac{4M}{N_A\,\bigl(16\sqrt{2}\,r^3\bigr)} = \frac{M}{4\sqrt{2}\,N_A\,r^3}.
Passo intermediário de álgebra mostrado: \dfrac{4}{16\sqrt{2}} = \dfrac{1}{4\sqrt{2}}.

Passo 7

Resumo de interpretação das fórmulas e dicas de prova (curto e motivador):
  • Para achar o volume da cela: calcule a a partir de r usando a diagonal da face e então faça a^3.
  • Para a densidade: lembre que precisa do número de átomos por cela Z (no FCC é 4), da massa de cada átomo ( M/N_A) e do volume da cela. Na prova, se o enunciado não der M, entregue a expressão simbólica em função de M.
Você já conseguiu! Se ficar com preguiça de desenhar, lembra que a diagonal da face sempre ajuda a ligar a e r no FCC.

Resposta

V_{\text{cel}} = a^{3} = 16\sqrt{2}\,r^{3}
\displaystyle \rho = \frac{4M}{N_{A}\,a^{3}} = \frac{M}{4\sqrt{2}\,N_{A}\,r^{3}}

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