Demonstre como se determina o volume e a densidade de um determinado sólido que cristaliza em sistemas:
cubo de face centrada; (raio " r ", aresta " a ").
cubo de face centrada; (raio " r ", aresta " a ").
Passo 1
O enunciado dá que o sólido cristaliza no sistema cubo de face centrada (FCC) e fornece as grandezas:
- raio atômico:
(raio da esfera que modela cada átomo); - aresta da cela unitária:
.
O que se pede:
- determinar o volume da cela unitária (em função de
e, depois, em função de ); - determinar a densidade do sólido (expressão geral em função da massa molar
, de e das grandezas ou ).
Informações úteis que vêm do enunciado: apenas os símbolos
e
são dados; a densidade típica envolve também a massa molar
e a constante de Avogadro
(esses aparecem na expressão final da densidade).
Passo 2
Entender a geometria do FCC e a relação entre
e
.
Explicação física e geométrica (passo-a-passo, sem pular):
- No modelo de esferas rígidas, cada átomo é uma esfera de raio
. - Na estrutura cubo de face centrada (FCC) há um átomo em cada um dos 8 vértices do cubo e um átomo centrado em cada uma das 6 faces.
- Ao olhar para uma face do cubo, os centros dos átomos dos dois vértices opostos e do átomo no centro da face estão alinhados ao longo da diagonal da face.
- Esses três átomos (vértice — face — vértice) tocam-se consecutivamente: cada contato é entre duas esferas de raio
. Então, o comprimento total ao longo da diagonal da face, medido entre os centros dos dois átomos de vértice, é a soma de três distâncias centro-a-centro: (vértice → centro da face) + (centro da face → outro vértice) = .
Geometria da face:
- Uma face é um quadrado de lado
. A diagonal desse quadrado tem comprimento .
Igualando as duas expressões para a diagonal da face obtemos a relação entre
e
:
Passo 3
Isolar
a partir de
.
Resolvendo:
Simplificando a fração:
Explicação do passo: multiplicou-se numerador e denominador por racionalização implícita, ou simplesmente observou-se que
.
Passo 4
Calcular o volume da cela unitária
.
Por definição geométrica, o volume do cubo de aresta
é:
Substituindo
:
Calculemos o cubo:
Portanto:
Observação prática para prova: primeiro expressa
em função de
, depois faz
— assim evita esquecer fatores numéricos.
Passo 5
Determinar quantos átomos pertencem efetivamente a uma cela unitária FCC (fator de ocupação
).
Contagem detalhada:
- Átomos nos 8 vértices: cada átomo de vértice é compartilhado por 8 células unitárias, então a contribuição por célula é
. - Átomos nas 6 faces: cada átomo de face é compartilhado por 2 células (duas faces vizinhas), então a contribuição por célula é
.
Somando as contribuições:
Interpretação: há o equivalente a 4 átomos inteiros por cela unitária FCC.
Passo 6
Expressar a massa por cela e a densidade.
Definições úteis:
-
= massa molar do elemento/composto (unidade: ou ); -
= constante de Avogadro (número de átomos por mol); - massa de um átomo:
.
Massa por cela unitária:
Densidade
(massa por volume) da rede cristalina:
Substituindo
e, se desejar, a expressão de
em função de
:
- expressão em função de
:
- expressão em função de
substituindo :
Passo intermediário de álgebra mostrado:
.
Passo 7
Resumo de interpretação das fórmulas e dicas de prova (curto e motivador):
- Para achar o volume da cela: calcule
a partir de usando a diagonal da face e então faça . - Para a densidade: lembre que precisa do número de átomos por cela
(no FCC é ), da massa de cada átomo ( ) e do volume da cela. Na prova, se o enunciado não der , entregue a expressão simbólica em função de .
Você já conseguiu! Se ficar com preguiça de desenhar, lembra que a diagonal da face sempre ajuda a ligar
e
no FCC.