7- Ferro sólido tem uma estrutura c c c, e densidade de 7,86 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Calcule o raio do átomo de ferro em pm. (R: 124 pm).

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (tudo que é relevante):
  • Estrutura do ferro: c\\ c\\ c (estrutura cúbica de corpo centrado).
  • Densidade do ferro sólido: \rho = 7,86\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Pede: calcular o raio do átomo de ferro, em picômetros (pm).
  • Informação não fornecida explicitamente no enunciado mas necessária: massa molar do ferro, que será usada como M = 55,845\\ \mathrm{g/mol}. Também será usada a constante de Avogadro N_A = 6,02214076\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Entender a geometria da célula unitária e relacionar \text{raio} com o parâmetro de rede a.
  • Numa célula cúbica de corpo centrado (BCC) há 2 átomos por célula unitária: oito cantos que contribuem com 1/8 cada um \Rightarrow 1 átomo, mais um átomo inteiro no centro \Rightarrow 1, total 2.
  • Geometria importante: a diagonal do cubo (diagonal espacial) atravessa dois raios da esfera central e um raio de cada átomo de canto ao longo da diagonal, totalizando 4 raios. O comprimento da diagonal espacial é a\sqrt{3}. Portanto a relação entre o parâmetro de rede a e o raio atômico r é
a\sqrt{3}=4r.
  • Vou usar também a definição de densidade da rede cristalina: massa da célula unitária dividido pelo volume da célula é igual à densidade,
\rho = \frac{m_{\text{célula}}}{a^{3}}.é
Aqui m_{\text{célula}}é é a massa de 2 átomos:
m_{\text{célula}} = 2\cdot\frac{M}{N_A},é
onde M é a massa molar do ferro e N_A é o número de Avogadro.

Passo 3

Colocar as fórmulas juntas para obter r em função de \rho, M e N_A.
  • Da densidade:
a^{3}=\frac{m_{\text{célula}}}{\rho}=\frac{2M/N_A}{\rho}.é
  • Tomando a raiz cúbica,
a=\left(\frac{2M}{\rho N_A}\right)^{1/3}.
  • Da relação geométrica a\sqrt{3}=4r obtemos
r=\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{2M}{\rho N_A}\right)^{1/3}.
Nesta fórmula:
  • \,r é o raio atômico (unidade que teremos depois),
  • M é a massa molar em \mathrm{g/mol},
  • \rho é a densidade em \mathrm{g/cm^{3}},
  • N_A é o número de Avogadro em \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 4

Calcular numericamente passo a passo, mantendo unidades consistentes.
Valores numéricos (todos em notação adequada):
M=55,845\\ \mathrm{g/mol},\qquad N_A=6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}},\qquad \rho=7,86\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  1. Massa da célula unitária:
m_{\text{célula}}=2\cdot\frac{M}{N_A} =2\cdot\frac{55,845}{6,02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.é
Calcular a fração:
\frac{55,845}{6,02214076\times10^{23}} \approx 9,2715\times10^{-23}\\ \mathrm{g},
então
m_{\text{célula}}\approx 2\times 9,2715\times10^{-23}=1,8543\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
  1. Volume da célula unitária a^{3}:
a^{3}=\frac{m_{\text{célula}}}{\rho} =\frac{1,8543\times10^{-22}}{7,86}\\ \mathrm{cm^{3}}.é
Dividindo:
a^{3}\approx 2,358\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  1. Extrair a fazendo a raiz cúbica. Para facilitar sem calculadora, escrevemos em notação científica e separamos mantissa e potência:
a=\left(2,358\times10^{-23}\right)^{1/3} =(2,358)^{1/3}\times10^{-23/3}.
  • (2,358)^{1/3}\approx 1,336 (estimativa por aproximação).
  • -23/3=-7,\overline{6}, isto é 10^{-23/3}=10^{-8}\times10^{1/3}\approx10^{-8}\times2,154.
    Portanto
a\approx 1,336\times 2,154\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\approx 2,877\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
  1. Converter a para picômetros. Sabendo que 1\\ \mathrm{cm}=10^{10}\\ \mathrm{pm},
a\approx 2,877\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\times 10^{10}\\ \frac{\mathrm{pm}}{\mathrm{cm}} =287,7\\ \mathrm{pm}.

Passo 5

Calcular o raio r a partir de a.
  • Usando \;r=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\;:
r=\frac{287,7\\ \mathrm{pm}\times\sqrt{3}}{4} =287,7\\ \mathrm{pm}\times\frac{1,73205}{4}.
  • Calcule o fator \dfrac{\sqrt{3}}{4}\approx 0,433013. Então
r\approx 287,7\times 0,433013\\ \mathrm{pm}\approx 124,6\\ \mathrm{pm}.

Passo 6

Arredondamento final e verificação rápida com o valor esperado.
  • Arredondando para três algarismos significativos: r\approx 124\\ \mathrm{pm}, que coincide com a resposta indicada.

Resposta

124 pm

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