7- Ferro sólido tem uma estrutura
, e densidade de
. Calcule o raio do átomo de ferro em pm. (R: 124 pm).
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (tudo que é relevante):
- Estrutura do ferro:
(estrutura cúbica de corpo centrado). - Densidade do ferro sólido:
. - Pede: calcular o raio do átomo de ferro, em picômetros (pm).
- Informação não fornecida explicitamente no enunciado mas necessária: massa molar do ferro, que será usada como
. Também será usada a constante de Avogadro .
Passo 2
Entender a geometria da célula unitária e relacionar
com o parâmetro de rede
.
- Numa célula cúbica de corpo centrado (BCC) há
átomos por célula unitária: oito cantos que contribuem com cada um átomo, mais um átomo inteiro no centro , total . - Geometria importante: a diagonal do cubo (diagonal espacial) atravessa dois raios da esfera central e um raio de cada átomo de canto ao longo da diagonal, totalizando
raios. O comprimento da diagonal espacial é . Portanto a relação entre o parâmetro de rede e o raio atômico é
- Vou usar também a definição de densidade da rede cristalina: massa da célula unitária dividido pelo volume da célula é igual à densidade,
Aqui
é a massa de
átomos:
onde
é a massa molar do ferro e
é o número de Avogadro.
Passo 3
Colocar as fórmulas juntas para obter
em função de
,
e
.
- Da densidade:
- Tomando a raiz cúbica,
- Da relação geométrica
obtemos
Nesta fórmula:
-
é o raio atômico (unidade que teremos depois), -
é a massa molar em , -
é a densidade em , -
é o número de Avogadro em .
Passo 4
Calcular numericamente passo a passo, mantendo unidades consistentes.
Valores numéricos (todos em notação adequada):
- Massa da célula unitária:
Calcular a fração:
então
- Volume da célula unitária
:
Dividindo:
- Extrair
fazendo a raiz cúbica. Para facilitar sem calculadora, escrevemos em notação científica e separamos mantissa e potência:
-
(estimativa por aproximação). -
, isto é .
Portanto
- Converter
para picômetros. Sabendo que ,
Passo 5
Calcular o raio
a partir de
.
- Usando
:
- Calcule o fator
. Então
Passo 6
Arredondamento final e verificação rápida com o valor esperado.
- Arredondando para três algarismos significativos:
, que coincide com a resposta indicada.
Resposta
124 pm