Demonstre, por dois métodos diferentes, as equações usadas na obtenção dos ângulos dos planos principais de um cubo elementar submetido a um estado plano de tensão - EPT. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar, por dois métodos diferentes, as equações usadas para obter os ângulos dos planos principais de um cubo elementar submetido a um estado plano de tensão (EPT).
Informações dadas e incógnitas que precisamos tratar:
  • Dados (símbolos): \sigma_x (tensão normal na face perpendicular ao eixo x), \sigma_y (tensão normal na face perpendicular ao eixo y) e \tau_{xy} (tensão de cisalhamento atuando nas faces x e y). Vou usar a convenção usual em mecânica dos meios contínuos: \tau_{xy} é o cisalhamento na face normal a x na direção y; sinais seguem a convensão adotada (serão tratados algebraicamente).
  • O objetivo: obter a equação que dá o ângulo \theta (medido a partir do eixo x) da direção em que a tensão de cisalhamento em um plano é nula — ou seja, os ângulos dos planos principais. Precisamos demonstrar essas equações por dois métodos distintos.

Passo 2

Método 1 — transformação analítica de tensões (projeção trigonométrica)
  1. Primeiro, vamos obter as fórmulas de transformação de tensões para um eixo rotacionado de \theta. Considere um elemento plano rotacionado de \theta em relação ao eixo x. A tensão normal no novo eixo x' resulta da projeção das componentes antigas. A expressão clássica (obtida projetando forças sobre a nova normal e usando identidades trigonométricas) é:
\sigma_{x'} = \sigma_x\cos^2\theta + \sigma_y\sin^2\theta + 2\tau_{xy}\sin\theta\cos\theta.
  1. Simplificamos usando as identidades trigonométricas \cos^2\theta = \tfrac{1+\cos 2\theta}{2}, \sin^2\theta = \tfrac{1-\cos 2\theta}{2} e \sin\theta\cos\theta = \tfrac{\sin 2\theta}{2}. Substituindo e agrupando termos chegamos à forma mais prática:
\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta.
  1. De forma análoga, a tensão de cisalhamento no novo sistema x'y' (o termo que queremos anular para achar as direções principais) é dada por:
\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta.
(Essa expressão também se obtém projetando as componentes de cisalhamento e normal nas direções rotacionadas e usando as mesmas identidades trigonométricas.)
4) Plano principal: por definição, em um plano principal a tensão de cisalhamento é nula. Então impomos \tau_{x'y'}=0. Isso dá a equação
-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta = 0.
  1. Isolando as razões trigonométricas obtemos
\frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y},
ou seja
\tan 2\theta = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
  1. Interpretação prática: resolver essa equação fornece 2\theta, então as direções principais são
\theta = \tfrac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\right)
mais a ambiguidade de quadrante (é preciso considerar a posição relativa de \sigma_x-\sigma_y e 2\tau_{xy} para escolher o ângulo correto). Como há duas direções principais ortogonais, a segunda direção é \theta+\tfrac{\pi}{2}. Uma forma numérica robusta para evitar ambiguidade de quadrante é usar a função dois-argumentos \mathrm{atan2}(2\tau_{xy},\sigma_x-\sigma_y) e dividir por 2.
  1. Ainda por completude: os valores das tensões principais resultantes (úteis para verificar) são
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2},
obtidos substituindo o \theta que anula \tau_{x'y'} em \sigma_{x'} ou resolvendo o problema como autovalores do tensor de tensões 2D.

Passo 3

Comentário didático e dica para prova sobre o Método 1
  • Porque isso funciona: a fórmula de transformação projeta as forças sobre um plano inclinado; exigir cisalhamento nulo dá a condição para que o vetor tensão naquele plano seja puramente normal.
  • Na prova: memorize a forma transformada com os termos \cos 2\theta e \sin 2\theta e a forma final \tan 2\theta = \dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}. Se for calcular numericamente, use \mathrm{atan2} para evitar erro de quadrante e lembre-se de dividir por 2. Respira, faz devagar e confere sinais!

Passo 4

Método 2 — construção e uso do Círculo de Mohr (método geométrico)
  1. O Círculo de Mohr é uma representação gráfica que relaciona \sigma (no eixo horizontal) e \tau (no eixo vertical) para todas as orientações de plano no elemento. Cada ponto no círculo corresponde às componentes (\sigma_{n},\tau_{n}) em alguma direção \theta.
  2. Construção: o centro do círculo é
C\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\;0\right).
O raio é
R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}.
  1. O ponto correspondente à orientação \theta=0 (plano normal ao eixo x) é (\sigma_x,\tau_{xy}) no diagrama (\sigma,\tau). A rotação física de \theta no elemento corresponde a uma variação angular de 2\theta no círculo de Mohr (essa duplicação de ângulo é a razão prática para aparecerem \cos 2\theta, \sin 2\theta nas fórmulas).
  2. Planos principais ocorrem quando a componente de cisalhamento representada no eixo vertical do círculo é zero — isto é, nos pontos em que o círculo corta o eixo das tensões (\tau=0). Esses pontos são simplesmente as abscissas C_x \pm R. Então as tensões principais são
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm R,
com R definido acima (o que reproduz a fórmula do Passo 2 para \sigma_{1,2}).
5) Para obter o ângulo: geometricamente, no triângulo formado entre o centro C, o ponto (\sigma_x,\tau_{xy}) e a interseção com o eixo \tau=0, o ângulo no círculo entre a linha que vai de C até (\sigma_x,\tau_{xy}) e a linha até a interseção com o eixo \tau=0 é exatamente 2\theta. Assim podemos escrever as projeções:
\cos 2\theta = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2R}, \qquad \sin 2\theta = \frac{2\tau_{xy}}{2R} = \frac{\tau_{xy}}{R}.
Dividindo essas duas relações recuperamos
\tan 2\theta = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y},
exatamente a mesma equação do Método 1.
6) Observação prática: o método de Mohr é ótimo para visualizar corretamente os sinais e resolver problemas sem muita álgebra; geometricamente mostra porque o ângulo no diagrama é o dobro do ângulo físico.

Passo 5

Resumo das diferenças entre os métodos e dica final
  • Método 1 (transformação analítica) dá as fórmulas diretamente por projeção trigonométrica e é bem apropriado para dedução algébrica e manipulação simbólica (útil na prova quando pedirem demonstração algébrica).
  • Método 2 (Mohr) dá intuição geométrica e permite ver facilmente os valores das tensões principais e o papel do raio/centro; é prático para checar resultados e entender o fator 2 no argumento das funções trigonométricas.
    Dica de exame: memorize a expressão de transformação e o resultado final \tan 2\theta = \dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}; se precisar de precisão na direção use \theta = \tfrac{1}{2}\mathrm{atan2}(2\tau_{xy},\sigma_x-\sigma_y).

Resposta

\tan 2\theta = \dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}
\displaystyle \theta = \tfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\right) (com a ambiguidade de quadrante; alternativamente \theta=\tfrac{1}{2}\mathrm{atan2}(2\tau_{xy},\sigma_x-\sigma_y))

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