Demonstre, por dois métodos diferentes, as equações usadas na obtenção dos ângulos dos planos principais de um cubo elementar submetido a um estado plano de tensão - EPT. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar, por dois métodos diferentes, as equações usadas para obter os ângulos dos planos principais de um cubo elementar submetido a um estado plano de tensão (EPT).
Informações dadas e incógnitas que precisamos tratar:
Informações dadas e incógnitas que precisamos tratar:
- Dados (símbolos):
(tensão normal na face perpendicular ao eixo ), (tensão normal na face perpendicular ao eixo ) e (tensão de cisalhamento atuando nas faces e ). Vou usar a convenção usual em mecânica dos meios contínuos: é o cisalhamento na face normal a na direção ; sinais seguem a convensão adotada (serão tratados algebraicamente). - O objetivo: obter a equação que dá o ângulo
(medido a partir do eixo ) da direção em que a tensão de cisalhamento em um plano é nula — ou seja, os ângulos dos planos principais. Precisamos demonstrar essas equações por dois métodos distintos.
Passo 2
Método 1 — transformação analítica de tensões (projeção trigonométrica)
- Primeiro, vamos obter as fórmulas de transformação de tensões para um eixo rotacionado de
. Considere um elemento plano rotacionado de em relação ao eixo . A tensão normal no novo eixo resulta da projeção das componentes antigas. A expressão clássica (obtida projetando forças sobre a nova normal e usando identidades trigonométricas) é:
- Simplificamos usando as identidades trigonométricas
, e . Substituindo e agrupando termos chegamos à forma mais prática:
- De forma análoga, a tensão de cisalhamento no novo sistema
(o termo que queremos anular para achar as direções principais) é dada por:
(Essa expressão também se obtém projetando as componentes de cisalhamento e normal nas direções rotacionadas e usando as mesmas identidades trigonométricas.)
4) Plano principal: por definição, em um plano principal a tensão de cisalhamento é nula. Então impomos . Isso dá a equação
4) Plano principal: por definição, em um plano principal a tensão de cisalhamento é nula. Então impomos
- Isolando as razões trigonométricas obtemos
ou seja
- Interpretação prática: resolver essa equação fornece
, então as direções principais são
mais a ambiguidade de quadrante (é preciso considerar a posição relativa de
e
para escolher o ângulo correto). Como há duas direções principais ortogonais, a segunda direção é
. Uma forma numérica robusta para evitar ambiguidade de quadrante é usar a função dois-argumentos
e dividir por
.
- Ainda por completude: os valores das tensões principais resultantes (úteis para verificar) são
obtidos substituindo o
que anula
em
ou resolvendo o problema como autovalores do tensor de tensões 2D.
Passo 3
Comentário didático e dica para prova sobre o Método 1
- Porque isso funciona: a fórmula de transformação projeta as forças sobre um plano inclinado; exigir cisalhamento nulo dá a condição para que o vetor tensão naquele plano seja puramente normal.
- Na prova: memorize a forma transformada com os termos
e e a forma final . Se for calcular numericamente, use para evitar erro de quadrante e lembre-se de dividir por . Respira, faz devagar e confere sinais!
Passo 4
Método 2 — construção e uso do Círculo de Mohr (método geométrico)
- O Círculo de Mohr é uma representação gráfica que relaciona
(no eixo horizontal) e (no eixo vertical) para todas as orientações de plano no elemento. Cada ponto no círculo corresponde às componentes em alguma direção . - Construção: o centro do círculo é
O raio é
- O ponto correspondente à orientação
(plano normal ao eixo ) é no diagrama . A rotação física de no elemento corresponde a uma variação angular de no círculo de Mohr (essa duplicação de ângulo é a razão prática para aparecerem , nas fórmulas). - Planos principais ocorrem quando a componente de cisalhamento representada no eixo vertical do círculo é zero — isto é, nos pontos em que o círculo corta o eixo das tensões
. Esses pontos são simplesmente as abscissas . Então as tensões principais são
com
definido acima (o que reproduz a fórmula do Passo 2 para
).
5) Para obter o ângulo: geometricamente, no triângulo formado entre o centro , o ponto
e a interseção com o eixo
, o ângulo no círculo entre a linha que vai de
até
e a linha até a interseção com o eixo
é exatamente
. Assim podemos escrever as projeções:
5) Para obter o ângulo: geometricamente, no triângulo formado entre o centro
Dividindo essas duas relações recuperamos
exatamente a mesma equação do Método 1.
6) Observação prática: o método de Mohr é ótimo para visualizar corretamente os sinais e resolver problemas sem muita álgebra; geometricamente mostra porque o ângulo no diagrama é o dobro do ângulo físico.
6) Observação prática: o método de Mohr é ótimo para visualizar corretamente os sinais e resolver problemas sem muita álgebra; geometricamente mostra porque o ângulo no diagrama é o dobro do ângulo físico.
Passo 5
Resumo das diferenças entre os métodos e dica final
- Método 1 (transformação analítica) dá as fórmulas diretamente por projeção trigonométrica e é bem apropriado para dedução algébrica e manipulação simbólica (útil na prova quando pedirem demonstração algébrica).
- Método 2 (Mohr) dá intuição geométrica e permite ver facilmente os valores das tensões principais e o papel do raio/centro; é prático para checar resultados e entender o fator 2 no argumento das funções trigonométricas.
Dica de exame: memorize a expressão de transformação e o resultado final; se precisar de precisão na direção use .