Esboce o Círculo de Mohr para o estado de tensão em que \sigma_{x}=50 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=10 MPa e \tau_{\mathrm{xy}}=40 \mathrm{Mpa}. ( 2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o Círculo de Mohr para o estado de tensões dado. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • \sigma_{x}=50\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_{y}=10\\ \mathrm{MPa}
  • \tau_{xy}=40\\ \mathrm{MPa}
O objetivo implícito ao pedir o esboço do Círculo de Mohr é:
  • determinar o centro e o raio do círculo;
  • localizar os pontos correspondentes ao estado de tensão ( \sigma_x,\tau_{xy}) e ( \sigma_y,-\tau_{xy});
  • calcular as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2;
  • calcular a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max};
  • obter a orientação das direções principais (ângulo \theta_p medido a partir do eixo x);
  • dar instruções claras para desenhar o círculo (onde colocar pontos, eixos e marcas).

Passo 2

O que é o Círculo de Mohr e por que usamos?
O Círculo de Mohr é uma representação gráfica das componentes de tensão num ponto: no eixo horizontal fica a tensão normal \sigma e no eixo vertical a tensão de cisalhamento \tau. Cada plano através do ponto corresponde a um ponto no círculo; os pontos (\sigma_x,\tau_{xy}) e (\sigma_y,-\tau_{xy}) são diámetros opostos do círculo. Em termos práticos, o círculo nos dá facilmente as tensões principais (intersecções com o eixo \sigma) e o máximo cisalhamento (máxima ordenada vertical).

Passo 3

Fórmula do centro do círculo e o que cada termo significa.
O centro C do círculo tem coordenada horizontal igual à média aritmética das tensões normais:
C=\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\\\ 0\right),
onde \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y. A coordenada vertical do centro é zero porque a média das componentes de cisalhamento dos dois pontos opostos é zero (um é \tau_{xy}, o outro é -\tau_{xy}).

Passo 4

Cálculo do centro com os números dados.
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{50+10}{2}=30.
Portanto,
C=(30,\\\ 0)\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Fórmula do raio e interpretação geométrica.
O raio R do círculo é a distância do centro até um dos pontos (\sigma_x,\tau_{xy}). Usando o teorema de Pitágoras:
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2},
onde \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2} é a componente horizontal do vetor do centro até o ponto (\sigma_x,\tau_{xy}) e \tau_{xy} é a componente vertical.

Passo 6

Cálculo do raio com os números.
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{50-10}{2}=20.
R=\sqrt{20^2+40^2}=\sqrt{400+1600}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\approx44,72\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Confirmação dos pontos que deverão estar no círculo (para desenhar).
Os dois pontos correspondentes às faces x e y são:
P_x=(\sigma_x,\\ \tau_{xy})=(50,\\\ 40)\\ \mathrm{MPa},
P_y=(\sigma_y,\\\ -\tau_{xy})=(10,\\\ -40)\\ \mathrm{MPa}.
Verificação rápida: o ponto médio entre P_x e P_y é \left(\dfrac{50+10}{2},\dfrac{40+(-40)}{2}\right)=(30,0), que é o centro C, portanto esses pontos são extremos de um diâmetro do círculo — coerente.

Passo 8

Cálculo das tensões principais \sigma_1 e \sigma_2.
As tensões principais são as interseções do círculo com o eixo \sigma, dada por
\sigma_{1,2}=C_x\pm R,
onde C_x=\dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é a abscissa do centro.
Aplicando os valores:
\sigma_1=30+44,72\approx74,72\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2=30-44,72\approx-14,72\\ \mathrm{MPa}.

Passo 9

Cálculo da tensão de cisalhamento máxima.
A tensão de cisalhamento máxima em módulo é simplesmente o raio do círculo:
\tau_{\max}=R\approx44,72\\ \mathrm{MPa}.
Os pontos de máximo cisalhamento no círculo têm coordenadas (C_x,\pm R)=(30,\pm44,72).

Passo 10

Orientação dos planos principais (ângulos).
No plano físico, o ângulo \theta_p (medido a partir do eixo x) do plano onde ocorre \sigma_1 satisfaz
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Explicando: no Círculo de Mohr um deslocamento angular de 2\theta no círculo corresponde a um giro de \theta no elemento físico — por isso aparece 2\theta_p.
Calcule:
\tan(2\theta_p)=\frac{2\cdot40}{50-10}=\frac{80}{40}=2.
2\theta_p=\arctan(2)\approx63,4349^\circ.
\theta_p=\frac{1}{2}\cdot63,4349^\circ\approx31,7175^\circ\approx31,72^\circ.
Observações práticas:
  • Existem outras soluções (adicionando 90^\circ a \theta_p troca \sigma_1 por \sigma_2), então as direções principais estão em \theta_p e \theta_p+90^\circ.
  • As direções de máximo cisalhamento ocorrem em \theta_s=\theta_p+45^\circ (ou \theta_p-45^\circ).

Passo 11

Instruções passo a passo para esboçar o Círculo de Mohr no papel (faça sem calculadora, usando os valores já obtidos):
  1. Desenhe eixos com eixo horizontal sendo \sigma (em MPa) e eixo vertical sendo \tau (em MPa). Marque valores do eixo \sigma cobrindo pelo menos de -20 a 80 MPa e do eixo \tau de -50 a 50 MPa.
  2. Marque o centro C=(30,0).
  3. Com compasso, desenhe um círculo de centro em 30 e raio 44,72.
  4. Marque os pontos P_x=(50,40) e P_y=(10,-40); eles devem ficar opostos no círculo.
  5. Marque as interseções do círculo com o eixo \sigma: \sigma_1\approx74,72 e \sigma_2\approx-14,72. Coloque rótulos aproximados.
  6. Marque também os pontos de máximo cisalhamento verticalmente acima/abaixo do centro: (30,44,72) e (30,-44,72).
  7. Opcional: desenhe um raio que vá do centro até P_x; o ângulo que esse raio faz no círculo corresponde a 2\theta no círculo, então para marcar \theta_p no elemento físico use \theta_p\approx31,72^\circ a partir do eixo x.

Passo 12

Resumo interpretativo rápido (um empurrãozinho motivacional): você agora tem os números que precisa para um esboço fiel do Círculo de Mohr e sabe onde anotar as tensões principais e o máximo cisalhamento. Na prova, desenhe primeiro o eixo, coloque o centro e o raio — o resto sai fácil e visualmente claro.

Resposta

Centro: C=(30,\\\ 0)\\ \mathrm{MPa}
Raio: R\approx44,72\\ \mathrm{MPa}
\sigma_1\approx74,72\\ \mathrm{MPa}
\sigma_2\approx-14,72\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\max}\approx44,72\\ \mathrm{MPa}
Orientação da direção de \sigma_1: \theta_p\approx31,72^\circ (a partir do eixo x)

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