Esboce o Círculo de Mohr para o estado de tensão em que
MPa e
. ( 2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o Círculo de Mohr para o estado de tensões dado. Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
O objetivo implícito ao pedir o esboço do Círculo de Mohr é:
- determinar o centro e o raio do círculo;
- localizar os pontos correspondentes ao estado de tensão (
) e ( ); - calcular as tensões principais
e ; - calcular a tensão de cisalhamento máxima
; - obter a orientação das direções principais (ângulo
medido a partir do eixo ); - dar instruções claras para desenhar o círculo (onde colocar pontos, eixos e marcas).
Passo 2
O que é o Círculo de Mohr e por que usamos?
O Círculo de Mohr é uma representação gráfica das componentes de tensão num ponto: no eixo horizontal fica a tensão normal e no eixo vertical a tensão de cisalhamento
. Cada plano através do ponto corresponde a um ponto no círculo; os pontos
e
são diámetros opostos do círculo. Em termos práticos, o círculo nos dá facilmente as tensões principais (intersecções com o eixo
) e o máximo cisalhamento (máxima ordenada vertical).
O Círculo de Mohr é uma representação gráfica das componentes de tensão num ponto: no eixo horizontal fica a tensão normal
Passo 3
Fórmula do centro do círculo e o que cada termo significa.
O centro do círculo tem coordenada horizontal igual à média aritmética das tensões normais:
O centro
onde
e
são as tensões normais nas direções
e
. A coordenada vertical do centro é zero porque a média das componentes de cisalhamento dos dois pontos opostos é zero (um é
, o outro é
).
Passo 4
Cálculo do centro com os números dados.
Portanto,
Passo 5
Fórmula do raio e interpretação geométrica.
O raio do círculo é a distância do centro até um dos pontos
. Usando o teorema de Pitágoras:
O raio
onde
é a componente horizontal do vetor do centro até o ponto
e
é a componente vertical.
Passo 6
Cálculo do raio com os números.
Passo 7
Confirmação dos pontos que deverão estar no círculo (para desenhar).
Os dois pontos correspondentes às faces e
são:
Os dois pontos correspondentes às faces
Verificação rápida: o ponto médio entre
e
é
, que é o centro
, portanto esses pontos são extremos de um diâmetro do círculo — coerente.
Passo 8
Cálculo das tensões principais
e
.
As tensões principais são as interseções do círculo com o eixo , dada por
As tensões principais são as interseções do círculo com o eixo
onde
é a abscissa do centro.
Aplicando os valores:
Passo 9
Cálculo da tensão de cisalhamento máxima.
A tensão de cisalhamento máxima em módulo é simplesmente o raio do círculo:
A tensão de cisalhamento máxima em módulo é simplesmente o raio do círculo:
Os pontos de máximo cisalhamento no círculo têm coordenadas
.
Passo 10
Orientação dos planos principais (ângulos).
No plano físico, o ângulo (medido a partir do eixo
) do plano onde ocorre
satisfaz
No plano físico, o ângulo
Explicando: no Círculo de Mohr um deslocamento angular de
no círculo corresponde a um giro de
no elemento físico — por isso aparece
.
Calcule:
Observações práticas:
- Existem outras soluções (adicionando
a troca por ), então as direções principais estão em e . - As direções de máximo cisalhamento ocorrem em
(ou ).
Passo 11
Instruções passo a passo para esboçar o Círculo de Mohr no papel (faça sem calculadora, usando os valores já obtidos):
- Desenhe eixos com eixo horizontal sendo
(em MPa) e eixo vertical sendo (em MPa). Marque valores do eixo cobrindo pelo menos de a MPa e do eixo de a MPa. - Marque o centro
. - Com compasso, desenhe um círculo de centro em
e raio . - Marque os pontos
e ; eles devem ficar opostos no círculo. - Marque as interseções do círculo com o eixo
: e . Coloque rótulos aproximados. - Marque também os pontos de máximo cisalhamento verticalmente acima/abaixo do centro:
e . - Opcional: desenhe um raio que vá do centro até
; o ângulo que esse raio faz no círculo corresponde a no círculo, então para marcar no elemento físico use a partir do eixo .
Passo 12
Resumo interpretativo rápido (um empurrãozinho motivacional): você agora tem os números que precisa para um esboço fiel do Círculo de Mohr e sabe onde anotar as tensões principais e o máximo cisalhamento. Na prova, desenhe primeiro o eixo, coloque o centro e o raio — o resto sai fácil e visualmente claro.
Resposta
Centro:
Raio:
Orientação da direção de :
(a partir do eixo
)
Raio:
Orientação da direção de