Demonstre que as duas expressões para lei de
e
, são equivalentes.
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente mostre que as duas formas da lei de Ohm
V = I\,R
e
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}
são, na prática, a mesma coisa – só escritas em “escala diferente”. O conteúdo aqui é condução elétrica: corrente, densidade de corrente, campo elétrico e condutividade. A gente vai usar definições básicas de corrente e densidade de corrente, além de relacionar resistividade e condutividade.
Passo 2
Primeiro, os conceitos:
- A densidade de corrente J é a corrente elétrica por unidade de área:
onde\mathbf{J} = \frac{I}{A}\,\hat{n}
é a corrente que passa por uma área . - O campo elétrico E dentro de um material homogêneo e de comprimento
relaciona-se à diferença de potencial assim:
(assumindoV = \int_0^L \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = E\,L
constante e ao longo de uma linha de comprimento ). - A condutividade
e a resistividade são inversas: \rho = \frac{1}{\sigma}.
Passo 3
Agora, partindo da forma diferencial da lei de Ohm:
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.
Como num fio cilíndrico de área
só flui corrente ao longo do eixo, podemos escrever a magnitude:
J = \sigma\,E.
Mas
e
. Substituindo:
\frac{I}{A} = \sigma\,\frac{V}{L}.
Passo 4
Isolando
, a gente tem:
\frac{I}{A} = \sigma\,\frac{V}{L}
\quad\Longrightarrow\quad
V = \frac{I}{A}\,\frac{L}{\sigma}
= I\,\frac{L}{\sigma\,A}.
Repare que
, a resistência do fio, é definida por
R = \rho\,\frac{L}{A}
= \frac{1}{\sigma}\,\frac{L}{A}
= \frac{L}{\sigma\,A}.
Logo
V = I\,R,
que é exatamente a forma “clássica” de Ohm.
Resposta
Mostramos que, usando as definições de densidade de corrente (
) e campo elétrico (
), e sabendo que
, a lei diferencial
se reduz à forma integral
. As duas expressões são, portanto, equivalentes.