Demonstre que as duas expressões para lei de 0 hm(V=I R e J=sigma E), são equivalentes.

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente mostre que as duas formas da lei de Ohm
V = I\,R  
e
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}
são, na prática, a mesma coisa – só escritas em “escala diferente”. O conteúdo aqui é condução elétrica: corrente, densidade de corrente, campo elétrico e condutividade. A gente vai usar definições básicas de corrente e densidade de corrente, além de relacionar resistividade e condutividade.

Passo 2

Primeiro, os conceitos:
  • A densidade de corrente J é a corrente elétrica por unidade de área:
    \mathbf{J} = \frac{I}{A}\,\hat{n}
    
    onde é a corrente que passa por uma área .
  • O campo elétrico E dentro de um material homogêneo e de comprimento relaciona-se à diferença de potencial assim:
    V = \int_0^L \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = E\,L
    
    (assumindo constante e ao longo de uma linha de comprimento ).
  • A condutividade e a resistividade são inversas:
    \rho = \frac{1}{\sigma}.
    

Passo 3

Agora, partindo da forma diferencial da lei de Ohm:
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.
Como num fio cilíndrico de área só flui corrente ao longo do eixo, podemos escrever a magnitude:
J = \sigma\,E.
Mas e . Substituindo:
\frac{I}{A} = \sigma\,\frac{V}{L}.

Passo 4

Isolando , a gente tem:
\frac{I}{A} = \sigma\,\frac{V}{L}
\quad\Longrightarrow\quad
V = \frac{I}{A}\,\frac{L}{\sigma}
= I\,\frac{L}{\sigma\,A}.
Repare que , a resistência do fio, é definida por
R = \rho\,\frac{L}{A}
= \frac{1}{\sigma}\,\frac{L}{A}
= \frac{L}{\sigma\,A}.
Logo
V = I\,R,
que é exatamente a forma “clássica” de Ohm.

Resposta

Mostramos que, usando as definições de densidade de corrente ( ) e campo elétrico ( ), e sabendo que , a lei diferencial se reduz à forma integral . As duas expressões são, portanto, equivalentes.

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