Uma distribuição esférica de cargas é caracterizada por uma densidade de carga \rho constante para r \leq R. Para raios maiores que R, a densidade de carga é nula. Determine o potencial \varphi(r) pela equação de Poisson e por outro método que você conheça.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
A densidade de carga é uniforme e constante para r\le R: \rho=\text{const}.
Para r>R a densidade de carga é nula: \rho(r)=0 para r>R.
Constantes físicas que aparecerão: a permissividade do vácuo \varepsilon_0.
O enunciado pede:
Determinar o potencial eletrostático \varphi(r) de toda a região (para r\le R e para r\ge R) usando a equação de Poisson.
Determinar \varphi(r) por outro método conhecido (vou usar a lei de Gauss para obter \mathbf{E}(r) e depois integrar para obter \varphi(r)).
Observações que adoto sem perguntar:
Vou escolher a referência \varphi(\infty)=0 (padrão em muitos problemas de eletrostática).
A distribuição é esférica (simetria esférica), então \varphi depende apenas de r.
Passo 2
Primeira abordagem: resolver a equação de Poisson. Apresento a equação e a forma a usar na simetria esférica.
Condição de referência: escolho \varphi(\infty)=0. Como -C_3/r\to 0 e C_4 é constante, isso força C_4=0. Assim
\varphi(r) = -\dfrac{C_3}{r},\qquad r>R.
Interpretando C_3: o potencial longe deve aproximar-se do potencial de uma carga total Q. Comparando com \varphi(r)\approx \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r} para grandes r, temos
Segunda abordagem (método alternativo): usar a lei de Gauss para obter \mathbf{E}(r) e então integrar \mathbf{E} para obter \varphi(r). Isso serve como verificação física.
A lei de Gauss (forma integral) diz que o fluxo de \mathbf{E} por uma superfície esférica de raio r é \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}, e por simetria \mathbf{E} é radial.
Para r\le R, a carga encoberta por uma esfera de raio r é