Demonstre e exemplifique para um gás ideal.
\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T}=\frac{1}{\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{T}}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a relação
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T} =\frac{1}{\displaystyle\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T}}
e depois exemplificar esse resultado para um gás ideal. O conteúdo envolve derivadas parciais e a propriedade de derivada de função inversa, mantendo a temperatura T constante.

Passo 2

Seja P=f(V,T) uma função invertível em V para temperatura fixa. A diferencial total, com T constante, é
dP=\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T}dV.
Invertendo essa relação obtemos
dV=\frac{1}{\displaystyle\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T}}\,dP,
o que, por definição de derivada parcial, implica
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T} =\frac{1}{\displaystyle\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T}}.

Passo 3

Para o gás ideal temos a equação de estado
P\,V=n\,R\,T.
Mantendo T constante, escrevemos
P=\frac{nRT}{V}
e calculamos
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T} =-\frac{nRT}{V^{2}}.

Passo 4

Da mesma forma isolamos V em função de P,
V=\frac{nRT}{P},
logo
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T} =-\frac{nRT}{P^{2}}.
Usando P=nRT/V obtemos P^{2}=(nRT)^{2}/V^{2} e então
-\frac{nRT}{P^{2}} =\frac{1}{-\dfrac{nRT}{V^{2}}} =\frac{1}{\displaystyle\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T}},
confirmando a relação recíproca.

Resposta

Demonstração e exemplo mostram que para um gás ideal
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T} =\frac{1}{\displaystyle\Bigl(\frac{\partial P}{\partial V}\Bigr)_{T}}.

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