Demonstre que as fórmulas abaixo são teoremas. Para as provas, você pode escolher entre o Sistema Axiomático de Hilbert, utilizando apenas os axiomas apresentados em sala e a regra do modus ponens(MP) ou o Sistema de Dedução Natural no estilo de Gentzen.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
.
Vamos usar o Sistema de Dedução Natural (estilo Gentzen), com as regras de Introdução e Eliminação de .
Vamos usar o Sistema de Dedução Natural (estilo Gentzen), com as regras de Introdução e Eliminação de
Passo 2
Para provar
, assumimos provisoriamente as premissas
e mostramos sob essas hipóteses que
.
Passo 3
Assuma adicionalmente
para derivar .
De e
, por Eliminação de
(
E), obtém-se
para derivar
De
De
e
, por
E, obtém-se
Passo 4
Como
foi obtido sob a hipótese
(linha 3), aplicamos Introdução de
(
I) e descartamos a hipótese 3 para concluir
Passo 5
Agora que derivamos
sob a hipótese
(linha 2), por
I descartamos a hipótese 2 e inferimos
Passo 6
Finalmente, derivamos
sob a hipótese
(linha 1). Aplicando
I e descartando a hipótese 1, obtemos