Demonstre que as fórmulas abaixo são teoremas. Para as provas, você pode escolher entre o Sistema Axiomático de Hilbert, utilizando apenas os axiomas apresentados em sala e a regra do modus ponens(MP) ou o Sistema de Dedução Natural no estilo de Gentzen.
\vdash(p \rightarrow(q \rightarrow r)) \rightarrow((p \wedge q) \rightarrow r)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que a fórmula abaixo é um teorema de lógica proposicional, usando dedução natural no estilo de Gentzen. Precisamos provar
(p \rightarrow (q \rightarrow r)) \rightarrow ((p \wedge q) \rightarrow r).

Passo 2

Assumimos temporariamente a hipótese
p \rightarrow (q \rightarrow r)
e, para introduzir a segunda implicação, assumimos também p \wedge q.

Passo 3

Da suposição (p \wedge q), aplicamos eliminação de conjunção para obter p e q.

Passo 4

Da suposição (p \rightarrow (q \rightarrow r)) e da obtenção de p, aplicamos eliminação de implicação para derivar q \rightarrow r.

Passo 5

Da fórmula q \rightarrow r e da obtenção de q, aplicamos eliminação de implicação para chegar em r.

Passo 6

Agora podemos retirar a suposição (p \wedge q) usando introdução de implicação, obtendo
(p \wedge q) \rightarrow r.

Passo 7

Finalmente, retiramos a suposição (p \rightarrow (q \rightarrow r)) por introdução de implicação, concluindo
(p \rightarrow (q \rightarrow r)) \rightarrow ((p \wedge q) \rightarrow r).

Resposta

\vdash (p \rightarrow (q \rightarrow r)) \rightarrow ((p \wedge q) \rightarrow r)

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