Demonstre que as fórmulas abaixo são teoremas. Para as provas, você pode escolher entre o Sistema Axiomático de Hilbert, utilizando apenas os axiomas apresentados em sala e a regra do modus ponens(MP) ou o Sistema de Dedução Natural no estilo de Gentzen.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que a fórmula abaixo é um teorema de lógica proposicional, usando dedução natural no estilo de Gentzen. Precisamos provar
Passo 2
Assumimos temporariamente a hipótese
e, para introduzir a segunda implicação, assumimos também
Passo 3
Da suposição
, aplicamos eliminação de conjunção para obter
e
Passo 4
Da suposição
e da obtenção de
, aplicamos eliminação de implicação para derivar
Passo 5
Da fórmula
e da obtenção de
, aplicamos eliminação de implicação para chegar em
Passo 6
Agora podemos retirar a suposição
usando introdução de implicação, obtendo
Passo 7
Finalmente, retiramos a suposição
por introdução de implicação, concluindo