Demonstre que as fórmulas abaixo são teoremas. Para as provas, você pode escolher entre o Sistema Axiomático de Hilbert, utilizando apenas os axiomas apresentados em sala e a regra do modus ponens(MP) ou o Sistema de Dedução Natural no estilo de Gentzen.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a fórmula
é um teorema do cálculo proposicional. Vamos usar Dedução Natural (estilo Gentzen), com as regras de introdução e eliminação de
, introdução de
via redução ao absurdo (RAA) e eliminação de contradição.
Passo 2
Assuma
(hipótese
)
e sob essa hipótese queremos derivar
e sob essa hipótese queremos derivar
Passo 3
Em seguida, suponha
(hipótese
)
e sob essas duas hipóteses queremos derivar .
e sob essas duas hipóteses queremos derivar
Passo 4
Para obter
, recorremos à redução ao absurdo. Suponha provisoriamente
(hipótese
).
De e da hipótese
aplicamos eliminação de
e obtemos
De e da hipótese
aplicamos eliminação de
e obtemos
Ora, de e
segue a contradição
De
De
Ora, de
Passo 5
Pela regra de redução ao absurdo (RAA), das hipóteses
até
concluímos
Passo 6
Agora fechamos a hipótese
. Pelo teorema de introdução de
a partir da suposição
até
, inferimos
Passo 7
Finalmente fechamos a hipótese
. Pela introdução de
a partir da suposição
até
, concluímos