Demonstre as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções a seguir.
(d) Let y=sech^-1 x. Then sech y=x Rightarrow-sech y tanh y d yd x=1 Rightarrow d yd x=-1sech y tanh y=-1sech y raiz1-sech^2 y=-1x raiz1-x^2. [Note that y>0 and so tanh y>0 ]

Passo 1

Estamos buscando a derivada de y=sech^-1x. Ou seja, queremos dfracdydx sabendo que x varia no domínio de sech^-1. Para isso, usaremos
  1. Diferenciação implícita,
  2. A regra da cadeia aplicada à função hiperbólica sechy, e
  3. A identidade hiperbólica tanh^2y + sech^2y =1.

Passo 2

Defina
y = sech^-1x
que equivale a
x = sechy
Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando dfracddyl(sechyr) = -sechy,tanh y e a regra da cadeia, obtemos
ddxl(sechyr) = -sechy,tanh y;dydx ;=;ddx(x)=1
Logo,
-sechy,tanh y;dydx = 1 Longrightarrow dydx = -1sechy,tanh y

Passo 3

Para eliminar y da expressão, usamos a identidade
tanh^2y + sech^2y = 1 Longrightarrow tanh y = raiz1 - sech^2y
Como na definição de sech^-1x temos y>0, basta tomar o sinal positivo na raiz.

Passo 4

Finalmente, lembrando que sechy = x, substituímos:
dydx = -1x ,raiz1 - x^2

Resposta

ddxl(sech^-1xr) = -1x,raiz1 - x^2

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