Questão 11 (Curvas tangentes). Uma curva lisa é tangente à superfície em um ponto de interseção se seu vetor velocidade é ortogonal a
ali. Mostre que a curva
é tangente à superfície
quando
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e a superfície
Queremos mostrar que, no ponto de interseção para
, o vetor velocidade
é ortogonal ao gradiente de
, condição de tangência.
Passo 2
Calculamos o ponto de interseção:
Verificamos que ele está na superfície:
logo
satisfaz
.
Passo 3
Obtemos o gradiente de
e o vetor velocidade:
Em
isso dá
Passo 4
Calculamos o produto escalar:
Como o produto escalar é zero,
é ortogonal a
.
Resposta
A curva é tangente à superfície quando
, pois
pertence à superfície e o vetor velocidade
é ortogonal ao gradiente ali.