Questão 11 (Curvas tangentes). Uma curva lisa é tangente à superfície em um ponto de interseção se seu vetor velocidade é ortogonal a nabla f ali. Mostre que a curva
r(t)=raizt i+raizt j+(2 t-1) k
é tangente à superfície x^2+y^2-z=1 quando t=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva
r(t)=raizt,i+raizt,j+(2t-1),k
e a superfície
x^2+y^2-z=1
Queremos mostrar que, no ponto de interseção para t=1, o vetor velocidade r'(1) é ortogonal ao gradiente de f(x,y,z)=x^2+y^2-z-1, condição de tangência.

Passo 2

Calculamos o ponto de interseção:
r(1)=(raiz1,raiz1,2cdot1-1)=(1,1,1)
Verificamos que ele está na superfície:
1^2+1^2-1=1+1-1=1,
logo r(1) satisfaz x^2+y^2-z=1.

Passo 3

Obtemos o gradiente de f e o vetor velocidade:
nabla f(x,y,z)=(2x,2y,-1), r'(t)=l(12raizt,12raizt,2r)
Em t=1 isso dá
nabla f(r(1))=(2,2,-1), r'(1)=l(tfrac12,tfrac12,2r)

Passo 4

Calculamos o produto escalar:
nabla f(r(1))cdot r'(1) =2cdottfrac12+2cdottfrac12+(-1)cdot2 =1+1-2=0
Como o produto escalar é zero, r'(1) é ortogonal a nabla f(r(1)).

Resposta

A curva é tangente à superfície quando t=1, pois r(1) pertence à superfície e o vetor velocidade r'(1) é ortogonal ao gradiente ali.

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