Demonstre que as fórmulas
e
a seguir são equivalentes:
Passo 1
Enunciado e conteúdo: queremos mostrar que as fórmulas
e
são logicamente equivalentes. O assunto aqui é permutação de quantificadores existenciais e equivalência lógica, usando a noção de testemunha para
.
Passo 2
Mostrando que
: suponha que
seja verdadeira num modelo. Então existe um elemento
tal que
Ou seja, existe um
Em seguida, aplicamos introdução existencial em
e concluímos
que é exatamente
Passo 3
Mostrando que
: de forma análoga, suponha que
seja verdadeira. Então existe um
tal que
Logo existe um
que é
.
Passo 4
Conclusão: como mostramos ambas as implicações
e
, as fórmulas são logicamente equivalentes pela definição de equivalência (duas fórmulas se equivalem se cada uma implica a outra).
Resposta
As fórmulas são equivalentes:
.