Demonstre que as fórmulas
e
a seguir são equivalentes:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as fórmulas H = (∀x)(∀y) p(x,y,z) e G = (∀y)(∀x) p(x,y,z) são equivalentes, ou seja, têm exatamente o mesmo conjunto de modelos. O conteúdo é a troca de quantificadores universais e vamos usar a propriedade de comutatividade de ∀.
Passo 2
Sabendo que quando temos dois quantificadores universais aninhados podemos reagrupar ou trocar a ordem sem alterar o significado, podemos escrever H de forma condensada:
Aplicando a mesma condensação a G, obtemos:
Passo 3
Agora usamos a regra de troca (comutatividade) dos quantificadores universais: para qualquer fórmula A,
Passo 4
Aplicando essa regra a H, vemos que
o que mostra que H é logicamente equivalente a G. Portanto, H e G têm o mesmo sentido.
Passo 5
Como consequência direta da comutatividade de ∀, H implica G e G implica H em qualquer interpretação, concluindo a equivalência lógica.
Resposta
As fórmulas H e G são logicamente equivalentes porque a ordem de quantificadores universais pode ser trocada sem alterar o significado: (∀x)(∀y)p(x,y,z) ≡ (∀y)(∀x)p(x,y,z).