Seja I uma interpretação sobre o conjunto dos números naturais N, tal que I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7, I[p(x)]=T Leftrightarrow xI<9, I[r(x)]=T Leftrightarrow xI>4, I[q(x)]=T Leftrightarrow xI=7. Determine o resultado da interpretação de cada uma das fórmulas a seguir, segundo I.

Passo 1

Temos uma interpretação I sobre ℕ com I[a]=5, I[b]=3, I[x]=7 e os predicados definidos por: p(x) é verdadeiro se x<9; r(x) é verdadeiro se x>4; q(x) é verdadeiro se x=7. Queremos avaliar a fórmula ((∃x) p(x) → r(b)) ↔ ((∀x) p(x) → r(b)).

Passo 2

Para a parte esquerda, primeiro avaliamos o existencial. Como existem valores em ℕ menores que 9 (por exemplo 0,1,…,8), concluímos que (∃x) p(x) é verdadeiro. Depois, r(b) significa r(3), e como 3>4 é falso, r(b) é falso. A implicação antecedente verdadeiro e consequente falso gera falso, logo (∃x) p(x) → r(b) é falso.

Passo 3

Para a parte direita, avaliamos o universal. Nem todo natural satisfaz x<9 (por exemplo x=9), então (∀x) p(x) é falso. De novo r(b) é falso como antes. A implicação com antecedente falso é sempre verdadeira (falso → falso = verdadeiro), logo (∀x) p(x) → r(b) é verdadeiro.

Passo 4

Por fim, a bicondicional entre falso (lado esquerdo) e verdadeiro (lado direito) só é verdadeira se ambos os lados tiverem o mesmo valor de verdade. Como eles diferem, o bicondicional é falso.

Resposta

Falso

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