Demonstre a identidade \boldsymbol{A} \times(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{C})=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}). Usando este resultado, verifique a identidade de Jacobi:
A \times(B \times C)+B \times(C \times A)+C \times(A \times B)=0 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Demonstrar a identidade
\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}).
  • Usando esse resultado, verificar a identidade de Jacobi
\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})+\boldsymbol{B}\times(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A})+\boldsymbol{C}\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=0.
Informações relevantes dadas implicitamente:
  • \boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C} são vetores em \mathbb{R}^3.
  • Pode-se usar notação de componentes e as propriedades usuais do produto escalar e vetorial.

Passo 2

Vou trabalhar com notação de índices (índices indo de 1 a 3) e usar a convenção de soma de Einstein (índices repetidos são somados). Introduzo os símbolos que vou usar e explico o que significam:
  • \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (antissimétrico) em 3 dimensões. Ele satisfaz \varepsilon_{123}=1 e muda de sinal quando permuta índices; se houver repetição de índices, é zero.
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker: \delta_{ij}=1 se i=j e \delta_{ij}=0 se i\neq j.
  • Componentes do vetor \boldsymbol{A} escrevo A_i, e similarmente B_i,C_i.
  • A componente i-ésima do produto vetorial \boldsymbol{X}\times\boldsymbol{Y} é dada por
(\boldsymbol{X}\times\boldsymbol{Y})_i=\varepsilon_{ijk}X_jY_k.
  • O produto escalar é \boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{Y}=X_iY_i (soma em i).
Essas fórmulas são padrão e permitem manipular vetores componente a componente.

Passo 3

Calculo a componente i de \boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) usando as fórmulas de produto vetorial em componente:
\big(\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\big)_i =\varepsilon_{ijk}A_j(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})_k.
Substituindo (\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})_k=\varepsilon_{klm}B_lC_m obtemos
\big(\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\big)_i =\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}B_lC_m.

Passo 4

Usamos a identidade clássica envolvendo dois símbolos de Levi-Civita:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl},
onde há soma sobre o índice repetido k. Essa identidade pode ser lembrada como uma relação que expressa produto de Levi-Civita em função de deltas de Kronecker (pode ser demonstrada expandindo determinantes, se quiser mais tarde). Aplicando essa identidade na expressão anterior:
\big(\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\big)_i =(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_jB_lC_m.
Agora distribuo e uso as propriedades do delta ( \delta_{il}B_l=B_i, \delta_{jm}A_jC_m=A_jC_j=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}, etc.):
\big(\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\big)_i =\delta_{il}\delta_{jm}A_jB_lC_m-\delta_{im}\delta_{jl}A_jB_lC_m.
Primeiro termo:
\delta_{il}\delta_{jm}A_jB_lC_m = B_i (A_jC_j) = B_i(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}).
Segundo termo:
\delta_{im}\delta_{jl}A_jB_lC_m = C_i (A_jB_j) = C_i(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}).
Portanto para cada componente i vale
\big(\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\big)_i = B_i(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-C_i(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}).

Passo 5

Voltando à notação vetorial (reagrupando as componentes) obtemos a identidade desejada:
\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) =\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}).
Esta é frequentemente chamada de identidade BAC-CAB. Intuitivamente, ela diz que o vetor \boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) está no plano gerado por \boldsymbol{B} e \boldsymbol{C}, e expressa exatamente a combinação linear apropriada.

Passo 6

Agora uso essa identidade para verificar a identidade de Jacobi. Escrevo cada termo usando BAC-CAB:
\begin{aligned} \boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) &= \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}),\\[4pt] \boldsymbol{B}\times(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}) &= \boldsymbol{C}(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A})-\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}),\\[4pt] \boldsymbol{C}\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) &= \boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{B})-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}). \end{aligned}
Somando os três termos:
\begin{aligned} &\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) +\boldsymbol{B}\times(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}) +\boldsymbol{C}\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\\[4pt] &= \big(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\big) +\big(\boldsymbol{C}(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A})-\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C})\big)\\[4pt] &\quad+\big(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{B})-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A})\big). \end{aligned}
Agora uso que o produto escalar é comutativo ( \boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Y}\cdot\boldsymbol{X}), então \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} e \boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}, etc. Agrupando por \boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C} vê-se que cada coeficiente se anula:
  • Coeficiente de \boldsymbol{A}: -(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C})+(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{B})=0.
  • Coeficiente de \boldsymbol{B}: (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A})=0.
  • Coeficiente de \boldsymbol{C}: (\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A})-(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})=0.
Portanto a soma é o vetor nulo:
\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) +\boldsymbol{B}\times(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}) +\boldsymbol{C}\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{0}.]

Resposta

\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})
\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})+\boldsymbol{B}\times(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A})+\boldsymbol{C}\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})=\boldsymbol{0}

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