Demonstre a identidade
. Usando este resultado, verifique a identidade de Jacobi:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Demonstrar a identidade
- Usando esse resultado, verificar a identidade de Jacobi
Informações relevantes dadas implicitamente:
-
são vetores em . - Pode-se usar notação de componentes e as propriedades usuais do produto escalar e vetorial.
Passo 2
Vou trabalhar com notação de índices (índices indo de
a
) e usar a convenção de soma de Einstein (índices repetidos são somados). Introduzo os símbolos que vou usar e explico o que significam:
-
é o símbolo de Levi-Civita (antissimétrico) em dimensões. Ele satisfaz e muda de sinal quando permuta índices; se houver repetição de índices, é zero. -
é o delta de Kronecker: se e se . - Componentes do vetor
escrevo , e similarmente . - A componente
-ésima do produto vetorial é dada por
- O produto escalar é
(soma em ).
Essas fórmulas são padrão e permitem manipular vetores componente a componente.
Passo 3
Calculo a componente
de
usando as fórmulas de produto vetorial em componente:
Substituindo
obtemos
Passo 4
Usamos a identidade clássica envolvendo dois símbolos de Levi-Civita:
onde há soma sobre o índice repetido
. Essa identidade pode ser lembrada como uma relação que expressa produto de Levi-Civita em função de deltas de Kronecker (pode ser demonstrada expandindo determinantes, se quiser mais tarde). Aplicando essa identidade na expressão anterior:
Agora distribuo e uso as propriedades do delta (
,
, etc.):
Primeiro termo:
Segundo termo:
Portanto para cada componente
vale
Passo 5
Voltando à notação vetorial (reagrupando as componentes) obtemos a identidade desejada:
Esta é frequentemente chamada de identidade BAC-CAB. Intuitivamente, ela diz que o vetor
está no plano gerado por
e
, e expressa exatamente a combinação linear apropriada.
Passo 6
Agora uso essa identidade para verificar a identidade de Jacobi. Escrevo cada termo usando BAC-CAB:
Somando os três termos:
Agora uso que o produto escalar é comutativo (
), então
e
, etc. Agrupando por
vê-se que cada coeficiente se anula:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Portanto a soma é o vetor nulo: