Considere um vetor arbitrário
e os vetores
e
.
(a) Encontre
tal que
. Essa condição fixa a norma de
? Explique.
(b) Com base no item anterior, qual é a interpretação de
.
(a) Encontre
(b) Com base no item anterior, qual é a interpretação de
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede duas coisas:
- (a) encontrar todos os vetores
tais que e ; e dizer se essa condição fixa a norma de ; - (b) a interpretação de
.
Passo 2
Vamos escrever
em componentes na base canônica:
Lembrete rápido sobre produto escalar: para dois vetores em coordenadas
e
,
Quando
, dizemos que
é ortogonal (perpendicular) a
.
Passo 3
Aplicando o produto escalar às duas condições dadas:
Temos um sistema linear de duas equações em três incógnitas
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Somando as duas equações:
Substituindo
em
:
Portanto os vetores
que satisfazem as duas condições têm a forma
onde
é parâmetro livre.
Passo 5
Isto mostra que as duas condições fixam apenas a direção (a reta) de
, não sua magnitude. Calculando a norma:
Como
é livre, a norma não é fixada pela condição ortogonal; para fixá‑la seria necessário impor uma condição extra (por exemplo
ou
específico).
Uma forma geométrica alternativa (útil na prova): o produto vetorial
fornece um vetor perpendicular a ambos. Calculando
confirmando que a direção perpendicular comum é
, compatível com
.
Passo 6
Interpretação de
: o chapéu indica vetor unitário na direção de
. Normalizando
obtemos
onde o sinal depende da escolha da direção (sentido) ao longo da reta de soluções. Em palavras:
é o vetor unitário que aponta na direção perpendicular a
e
.
Resposta
(a)
A condição não fixa a norma de
(pois
depende de
).
(b) — o vetor unitário na direção perpendicular a
e
.
(b)