Considere um vetor arbitrário \boldsymbol{a} e os vetores \boldsymbol{u}=2 \hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}} e \boldsymbol{v}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}.
(a) Encontre \boldsymbol{a} tal que \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}=0=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{v}. Essa condição fixa a norma de \boldsymbol{a} ? Explique.
(b) Com base no item anterior, qual é a interpretação de \hat{\boldsymbol{a}}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\boldsymbol{u}=2\hat{\boldsymbol{x}}+\hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}} \qquad\text{e}\qquad \boldsymbol{v}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar todos os vetores \boldsymbol{a} tais que \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u}=0 e \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{v}=0; e dizer se essa condição fixa a norma de \boldsymbol{a};
  • (b) a interpretação de \hat{\boldsymbol{a}}.

Passo 2

Vamos escrever \boldsymbol{a} em componentes na base canônica:
\boldsymbol{a}=a_x\hat{\boldsymbol{x}}+a_y\hat{\boldsymbol{y}}+a_z\hat{\boldsymbol{z}}.
Lembrete rápido sobre produto escalar: para dois vetores em coordenadas (p_x,p_y,p_z) e (q_x,q_y,q_z),
\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=p_x q_x + p_y q_y + p_z q_z.
Quando \boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=0, dizemos que \boldsymbol{p} é ortogonal (perpendicular) a \boldsymbol{q}.

Passo 3

Aplicando o produto escalar às duas condições dadas:
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u}=2a_x+a_y-a_z=0,
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{v}=a_x-a_y+a_z=0.
Temos um sistema linear de duas equações em três incógnitas a_x,a_y,a_z.

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Somando as duas equações:
(2a_x+a_y-a_z)+(a_x-a_y+a_z)=3a_x=0 \quad\Rightarrow\quad a_x=0.
Substituindo a_x=0 em \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{v}=0:
0 - a_y + a_z = 0 \quad\Rightarrow\quad a_z = a_y.
Portanto os vetores \boldsymbol{a} que satisfazem as duas condições têm a forma
\boldsymbol{a}=0\cdot\hat{\boldsymbol{x}}+t\hat{\boldsymbol{y}}+t\hat{\boldsymbol{z}}=t(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}),
onde t\in\mathbb{R} é parâmetro livre.

Passo 5

Isto mostra que as duas condições fixam apenas a direção (a reta) de \boldsymbol{a}, não sua magnitude. Calculando a norma:
\|\boldsymbol{a}\|=\sqrt{0^2+t^2+t^2}=\sqrt{2}\,|t|.
Como t é livre, a norma não é fixada pela condição ortogonal; para fixá‑la seria necessário impor uma condição extra (por exemplo \|\boldsymbol{a}\|=1 ou t específico).
Uma forma geométrica alternativa (útil na prova): o produto vetorial \boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v} fornece um vetor perpendicular a ambos. Calculando
\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}=(2,1,-1)\times(1,-1,1)=(0,-3,-3)=-3(0,1,1),
confirmando que a direção perpendicular comum é (0,1,1), compatível com \boldsymbol{a}=t(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}).

Passo 6

Interpretação de \hat{\boldsymbol{a}}: o chapéu indica vetor unitário na direção de \boldsymbol{a}. Normalizando \hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}} obtemos
\hat{\boldsymbol{a}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}\bigr),
onde o sinal depende da escolha da direção (sentido) ao longo da reta de soluções. Em palavras: \hat{\boldsymbol{a}} é o vetor unitário que aponta na direção perpendicular a \boldsymbol{u} e \boldsymbol{v}.

Resposta

(a) \boldsymbol{a}=t\bigl(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}\bigr),\\ t\in\mathbb{R}. A condição não fixa a norma de \boldsymbol{a} (pois \|\boldsymbol{a}\|=\sqrt{2}\,|t| depende de t).
(b) \hat{\boldsymbol{a}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}\bigr) — o vetor unitário na direção perpendicular a \boldsymbol{u} e \boldsymbol{v}.

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