Considere a superfície
.
(a) Construa um vetor unitário perpendicular à superfície no ponto
.
(b) Mostre que a equação do plano tangente ao ponto (
) é
.
(a) Construa um vetor unitário perpendicular à superfície no ponto
(b) Mostre que a equação do plano tangente ao ponto (
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede duas coisas no ponto
:
- (a) construir um vetor unitário perpendicular à superfície naquele ponto;
- (b) mostrar que a equação do plano tangente naquele ponto é
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é o conjunto de pontos que satisfazem
. - O ponto considerado é
. Verificar que ele pertence à superfície: , portanto o ponto está na superfície.
Passo 2
Idéia principal (fórmula que vamos usar) e definição: definir a função
A superfície dada é o nível
.
Agora uma propriedade fundamental: o gradiente de uma função, definido por
aponta na direção perpendicular (normal) às superfícies de nível
. Explicando por quê, de forma simples e intuitiva:
- Se
é um vetor tangente à superfície no ponto , então ao se deslocar um pouco nessa direção o valor de não muda (porque permanece no mesmo nível), logo a derivada direcional de na direção é zero. - A derivada direcional de
na direção é exatamente o produto escalar . - Portanto
para todo vetor tangente , o que significa que é ortogonal ao plano tangente — ou seja, é um vetor normal.
Vamos aplicar isto ao nosso caso.
Passo 3
Calcular o gradiente de
. As derivadas parciais são:
Logo
No ponto
temos
Passo 4
Construir um vetor unitário normal: primeiro encontramos o comprimento (norma) do vetor
:
Para obter um vetor unitário dividimos pelo comprimento. Assim um vetor unitário perpendicular à superfície em
é
Observação: o vetor oposto
também é um vetor unitário normal (aponta para a direção contrária). Normalmente qualquer um dos dois é aceito como normal unitário.
Passo 5
Equação do plano tangente usando o vetor normal: se
é um vetor normal em
, a equação do plano tangente é
Aqui podemos usar
como vetor normal (não precisa estar normalizado para obter a equação do plano). Tomando
,
Desenvolvendo o produto escalar:
Dividindo ambos os lados por
e somando os termos:
Portanto a equação do plano tangente é
Passo 6
Pequena verificação: o plano encontrado de fato passa por
, pois
. O vetor normal do plano é
(ou proporcional a
), que coincide com o gradiente calculado, confirmando que o plano é tangente à superfície naquele ponto.
Resposta
(a)
(b)