Considere a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.
(a) Construa um vetor unitário perpendicular à superfície no ponto (1,1,1).
(b) Mostre que a equação do plano tangente ao ponto ( 1,1,1 ) é x+y+z=3.

Passo 1

O enunciado dá a superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 e pede duas coisas no ponto (1,1,1):
  • (a) construir um vetor unitário perpendicular à superfície naquele ponto;
  • (b) mostrar que a equação do plano tangente naquele ponto é x+y+z=3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é o conjunto de pontos que satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.
  • O ponto considerado é (1,1,1). Verificar que ele pertence à superfície: 1^{2}+1^{2}+1^{2}=3, portanto o ponto está na superfície.

Passo 2

Idéia principal (fórmula que vamos usar) e definição: definir a função
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
A superfície dada é o nível \{(x,y,z)\mid F(x,y,z)=3\}.
Agora uma propriedade fundamental: o gradiente de uma função, definido por
\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right),
aponta na direção perpendicular (normal) às superfícies de nível F=\text{constante}. Explicando por quê, de forma simples e intuitiva:
  • Se v é um vetor tangente à superfície no ponto P, então ao se deslocar um pouco nessa direção o valor de F não muda (porque permanece no mesmo nível), logo a derivada direcional de F na direção v é zero.
  • A derivada direcional de F na direção v é exatamente o produto escalar \nabla F(P)\cdot v.
  • Portanto \nabla F(P)\cdot v=0 para todo vetor tangente v, o que significa que \nabla F(P) é ortogonal ao plano tangente — ou seja, é um vetor normal.
Vamos aplicar isto ao nosso caso.

Passo 3

Calcular o gradiente de F. As derivadas parciais são:
\frac{\partial F}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=2z.
Logo
\nabla F(x,y,z)=(2x,2y,2z).
No ponto P=(1,1,1) temos
\nabla F(1,1,1)=(2,2,2).

Passo 4

Construir um vetor unitário normal: primeiro encontramos o comprimento (norma) do vetor \nabla F(1,1,1):
\|\nabla F(1,1,1)\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Para obter um vetor unitário dividimos pelo comprimento. Assim um vetor unitário perpendicular à superfície em P é
\mathbf{n}=\frac{\nabla F(1,1,1)}{\|\nabla F(1,1,1)\|} =\frac{(2,2,2)}{2\sqrt{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).
Observação: o vetor oposto -\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) também é um vetor unitário normal (aponta para a direção contrária). Normalmente qualquer um dos dois é aceito como normal unitário.

Passo 5

Equação do plano tangente usando o vetor normal: se \mathbf{n} é um vetor normal em P=(x_{0},y_{0},z_{0}), a equação do plano tangente é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\bigr)=0.
Aqui podemos usar \nabla F(1,1,1)=(2,2,2) como vetor normal (não precisa estar normalizado para obter a equação do plano). Tomando P=(1,1,1),
(2,2,2)\cdot(x-1,y-1,z-1)=0.
Desenvolvendo o produto escalar:
2(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0.
Dividindo ambos os lados por 2 e somando os termos:
x-1+y-1+z-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z-3=0.
Portanto a equação do plano tangente é
x+y+z=3.

Passo 6

Pequena verificação: o plano encontrado de fato passa por P=(1,1,1), pois 1+1+1=3. O vetor normal do plano é (1,1,1) (ou proporcional a (2,2,2)), que coincide com o gradiente calculado, confirmando que o plano é tangente à superfície naquele ponto.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)
(b) \displaystyle x+y+z=3

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