Demonstre a identidade.
(\operatorname{sen} x+\cos x)^{2}=1+\operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
(\operatorname{sen}x + \cos x)^{2} = 1 + \operatorname{sen}2x.
Aqui vamos usar duas fórmulas básicas de trigonometria: a identidade de Pitágoras
\operatorname{sen}^{2}x + \cos^{2}x = 1
e a fórmula do ângulo duplo para o seno
\operatorname{sen}2x = 2\,\operatorname{sen}x\cos x.

Passo 2

Começamos expandindo o quadrado do binômio no lado esquerdo:
(\operatorname{sen}x + \cos x)^{2} = \operatorname{sen}^{2}x + 2\,\operatorname{sen}x\cos x + \cos^{2}x.

Passo 3

Aplicamos a identidade de Pitágoras \operatorname{sen}^{2}x + \cos^{2}x = 1. Então
\operatorname{sen}^{2}x + 2\,\operatorname{sen}x\cos x + \cos^{2}x = 1 + 2\,\operatorname{sen}x\cos x.

Passo 4

Reconhecemos que 2\,\operatorname{sen}x\cos x é exatamente \operatorname{sen}2x. Portanto
1 + 2\,\operatorname{sen}x\cos x = 1 + \operatorname{sen}2x.

Resposta

(\operatorname{sen}x + \cos x)^{2} = 1 + \operatorname{sen}2x.

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