Demonstre a identidade.
tg x+\operatorname{tg} y=\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{\cos x \cos y}

Passo 1

O enunciado nos pede para demonstrar a identidade trigonométrica \tan x + \tan y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}.
Para isso, vamos usar a definição de tangente como razão entre seno e cosseno e a fórmula do seno da soma de dois ângulos.

Passo 2

Substituímos \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} e \tan y = \frac{\sin y}{\cos y}, obtendo
\tan x + \tan y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}.
Colocando no mesmo denominador \cos x \cos y, temos
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y + \sin y \cos x}{\cos x \cos y}.
Pela identidade do seno da soma, \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y. Logo,
\frac{\sin x \cos y + \sin y \cos x}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}.

Resposta

Demonstramos que
\tan x + \tan y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}.

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