Demonstre as identidades:
(e) (\operatorname{sen} x+\cos x)^{2}=1+\operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(\operatorname{sen}x+\cos x)^{2}=1+\operatorname{sen}2x.
O conteúdo essencial aqui é usar a expansão do quadrado da soma e duas identidades trigonométricas básicas:
  1. \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1.
  2. \operatorname{sen}2x=2\,\operatorname{sen}x\cos x.

Passo 2

Expandimos o quadrado da soma conforme a fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Tomando a=\operatorname{sen}x e b=\cos x, temos
(\operatorname{sen}x+\cos x)^{2} =\operatorname{sen}^{2}x+2\,\operatorname{sen}x\cos x+\cos^{2}x.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade de soma de quadrados e a fórmula do ângulo duplo:
  • Como \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1, o primeiro e o último termo somam 1.
  • Como \operatorname{sen}2x=2\,\operatorname{sen}x\cos x, o termo do meio é exatamente \operatorname{sen}2x.
Juntando:
\operatorname{sen}^{2}x+2\,\operatorname{sen}x\cos x+\cos^{2}x =1+\operatorname{sen}2x.

Resposta

(\operatorname{sen}x+\cos x)^{2}=1+\operatorname{sen}2x.

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