Demonstre as identidades:
\operatorname{tg} x-\operatorname{cotg} x=-2 \operatorname{cotg} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\tan x - \cot x = -2 \cot 2x.
Este é um problema de identidades trigonométricas, onde vamos reescrever tudo em termos de \sin e \cos e usar as fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Escrevemos \tan x e \cot x em função de \sin e \cos, e fazemos um denominador comum:
\tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x\,\cos x}.

Passo 3

Usamos a identidade de ângulo duplo para o cosseno:
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \;\Longrightarrow\; \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x.
Substituindo no numerador,
\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x,
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\tan x - \cot x = \frac{-\cos 2x}{\sin x\,\cos x}.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de ângulo duplo para o seno:
\sin 2x = 2\sin x\,\cos x \;\Longrightarrow\; \sin x\,\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.
Substituindo no denominador,
\tan x - \cot x = \frac{-\cos 2x}{\tfrac12 \sin 2x} = -2\,\frac{\cos 2x}{\sin 2x}.

Passo 5

Reconhecemos a definição de cotangente:
\frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x.
Portanto
\tan x - \cot x = -2\,\cot 2x,
que é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.

Resposta

A identidade \tan x - \cot x = -2 \cot 2x está demonstrada.

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