Determine os lados de um triângulo A B C no qual se tem a=3, \widehat{A}=30^{\circ} e \widehat{B}=45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os três lados do triângulo ABC sabendo que o lado a=BC=3, o ângulo \widehat{A}=30^\circ e o ângulo \widehat{B}=45^\circ. O método mais direto é usar a Lei dos Senos, que relaciona lados e senos dos ângulos no triângulo:
\frac{a}{\sin A} \;=\;\frac{b}{\sin B}\;=\;\frac{c}{\sin C}.

Passo 2

Primeiro encontramos o ângulo \widehat{C} pelo fato de que a soma dos ângulos internos é 180^\circ:
\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ.

Passo 3

Aplicamos a Lei dos Senos para achar b (oposto a \widehat{B}):
\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \quad\Longrightarrow\quad b = a\,\frac{\sin B}{\sin A} = 3\,\frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}.
Como \sin(45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2} e \sin(30^\circ)=\frac12, resulta
b = 3\,\frac{\tfrac{\sqrt2}{2}}{\tfrac12} = 3\sqrt2.

Passo 4

Agora usamos a Lei dos Senos para achar c (oposto a \widehat{C}):
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \quad\Longrightarrow\quad c = a\,\frac{\sin C}{\sin A} = 3\,\frac{\sin(105^\circ)}{\tfrac12} = 6\,\sin(105^\circ).
Para calcular \sin(105^\circ), escrevemos 105^\circ=60^\circ+45^\circ e usamos a fórmula de soma:
\sin(105^\circ) = \sin(60^\circ+45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ)+\cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.
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c = 6\,\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} = \frac{6}{4}\,(\sqrt6+\sqrt2) = \frac{3}{2}\,(\sqrt6+\sqrt2).

Resposta

O triângulo tem lados a=3, b=3\sqrt2
e c=\tfrac{3}{2}(\sqrt6+\sqrt2).

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