1. Demonstre as identıdades trigonometrıcas seguintes:
    OBS: Para outras identidades trigonométricas, acessar https://en.wikipedia.org/ wiki/List_of_trigonometric_identities ou https://archive.org/details/GradshteinI. S.RyzhikI.M.Tables0fIntegralsSeriesAndProducts/page/n407/mode/2up.
(a) \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \theta;

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre a identidade trigonométrica abaixo (essa é a única pergunta):
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta.
Não há outros dados numéricos fornecidos — a tarefa é provar que a igualdade vale para todo \theta onde as funções estão definidas.

Passo 2

Primeira ideia (geometria com triângulo retângulo): definir as funções seno e cosseno em um triângulo retângulo e usar ângulos complementares.
Considere um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento h. Tome um ângulo agudo do triângulo igual a \theta. Denotando:
  • o o cateto oposto ao ângulo \theta,
  • a o cateto adjacente ao ângulo \theta,
    temos, pela definição clássica em triângulos,
\sin\theta=\frac{o}{h},\qquad \cos\theta=\frac{a}{h}.
No mesmo triângulo, o outro ângulo agudo (o complemento de \theta) vale \frac{\pi}{2}-\theta. Para esse ângulo complementar, o cateto oposto é justamente o cateto que era adjacente a \theta, ou seja, tem comprimento a. Assim,
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{a}{h}.
Comparando com a expressão de \cos\theta acima, obtemos
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{a}{h}=\cos\theta.
Essa é uma prova direta e muito intuitiva: seno do complemento é cosseno.

Passo 3

Segunda ideia (círculo unitário): usar a definição de seno e cosseno como coordenadas de um ponto no círculo unitário.
No círculo unitário (raio 1) um ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo determina um ponto cuja coordenada x é \cos\theta e cuja coordenada y é \sin\theta. Geometricamente, o ângulo \frac{\pi}{2}-\theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo que corresponde ao complemento de \theta. Se desenhar os dois pontos no círculo, nota-se que as coordenadas se trocam de lugar (por simetria em relação à bissetriz y=x): o ponto correspondente a \frac{\pi}{2}-\theta tem coordenadas
\bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta\bigr),\; \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta\bigr)\bigr),
enquanto o ponto correspondente a \theta tem coordenadas
(\cos\theta,\;\sin\theta).
Pela simetria, a ordenada do ponto de ângulo \frac{\pi}{2}-\theta (ou seja, \sin(\tfrac{\pi}{2}-\theta)) coincide com a abscissa do ponto de ângulo \theta (ou seja, \cos\theta). Logo
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta.

Passo 4

Terceira ideia (identidade de soma/subtração de ângulos — método algébrico): aplicar a fórmula de subtração para o seno.
A fórmula de subtração para o seno é
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,
válida para quaisquer \alpha,\beta. Aplicando com \alpha=\frac{\pi}{2} e \beta=\theta, obtemos
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\theta-\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\theta.
Usando os valores conhecidos
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
fica
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=1\cdot\cos\theta-0\cdot\sin\theta=\cos\theta.
Essa é uma demonstração puramente algébrica e rápida, que usa uma fórmula padrão de trigonometria.

Passo 5

Resumo final e comentário de motivação: mostramos a identidade de três maneiras diferentes — com um triângulo retângulo (intuitiva), com o círculo unitário (geométrica) e com a fórmula de subtração de ângulos (algébrica). Todas levam à mesma conclusão:
\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta.
Se ficou tenso no começo, ótimo: essas três formas são as que costumam cair em prova e servem para diferentes contextos — escolha a que você lembrar mais fácil na hora.

Resposta

\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta

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