- Demonstre as identıdades trigonometrıcas seguintes:
OBS: Para outras identidades trigonométricas, acessar https://en.wikipedia.org/ wiki/List_of_trigonometric_identities ou https://archive.org/details/GradshteinI. S.RyzhikI.M.Tables0fIntegralsSeriesAndProducts/page/n407/mode/2up.
(a)
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OBS: Para outras identidades trigonométricas, acessar https://en.wikipedia.org/ wiki/List_of_trigonometric_identities ou https://archive.org/details/GradshteinI. S.RyzhikI.M.Tables0fIntegralsSeriesAndProducts/page/n407/mode/2up.
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre a identidade trigonométrica abaixo (essa é a única pergunta):
Não há outros dados numéricos fornecidos — a tarefa é provar que a igualdade vale para todo
onde as funções estão definidas.
Passo 2
Primeira ideia (geometria com triângulo retângulo): definir as funções seno e cosseno em um triângulo retângulo e usar ângulos complementares.
Considere um triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento
. Tome um ângulo agudo do triângulo igual a
. Denotando:
-
o cateto oposto ao ângulo , -
o cateto adjacente ao ângulo ,
temos, pela definição clássica em triângulos,
No mesmo triângulo, o outro ângulo agudo (o complemento de
) vale
. Para esse ângulo complementar, o cateto oposto é justamente o cateto que era adjacente a
, ou seja, tem comprimento
. Assim,
Comparando com a expressão de
acima, obtemos
Essa é uma prova direta e muito intuitiva: seno do complemento é cosseno.
Passo 3
Segunda ideia (círculo unitário): usar a definição de seno e cosseno como coordenadas de um ponto no círculo unitário.
No círculo unitário (raio
) um ângulo
medido a partir do eixo
positivo determina um ponto cuja coordenada
é
e cuja coordenada
é
. Geometricamente, o ângulo
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo que corresponde ao complemento de
. Se desenhar os dois pontos no círculo, nota-se que as coordenadas se trocam de lugar (por simetria em relação à bissetriz
): o ponto correspondente a
tem coordenadas
enquanto o ponto correspondente a
tem coordenadas
Pela simetria, a ordenada do ponto de ângulo
(ou seja,
) coincide com a abscissa do ponto de ângulo
(ou seja,
). Logo
Passo 4
Terceira ideia (identidade de soma/subtração de ângulos — método algébrico): aplicar a fórmula de subtração para o seno.
A fórmula de subtração para o seno é
válida para quaisquer
. Aplicando com
e
, obtemos
Usando os valores conhecidos
fica
Essa é uma demonstração puramente algébrica e rápida, que usa uma fórmula padrão de trigonometria.
Passo 5
Resumo final e comentário de motivação: mostramos a identidade de três maneiras diferentes — com um triângulo retângulo (intuitiva), com o círculo unitário (geométrica) e com a fórmula de subtração de ângulos (algébrica). Todas levam à mesma conclusão:
Se ficou tenso no começo, ótimo: essas três formas são as que costumam cair em prova e servem para diferentes contextos — escolha a que você lembrar mais fácil na hora.