1. Utilizando a forma trigonométrica - ou forma polar - dos números complexos, demonstre as igualdades:
(c) (-1+\imath)^{\prime}=-8(1+\imath);

Passo 1

O enunciado diz: mostrar a igualdade (-1+\imath)^{\prime}=-8(1+\imath). Vou interpretar o símbolo de expoente ' como o expoente 7, ou seja, a igualdade a demonstrar é
(-1+\imath)^{7}=-8(1+\imath).
Informações dadas que vamos usar:
  • O número complexo a ser elevado é (-1+\imath).
  • O lado direito é -8(1+\imath).
    O objetivo é provar que elevando (-1+\imath) à potência 7 obtemos exatamente o número -8(1+\imath).

Passo 2

Lembrete sobre a forma trigonométrica (polar) e o teorema de De Moivre — aula rápida e prática.
  • Qualquer número complexo z=x+\imath y pode ser escrito na forma polar como
z = r\bigl(\cos\theta+\imath\sin\theta\bigr)
onde r é o módulo de z e \theta é o argumento de z.
  • O módulo r é definido por
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que é o comprimento do vetor (x,y).
  • O argumento \theta é o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor (x,y); para calcular \theta use \tan\theta = y/x e ajuste o quadrante.
  • Teorema de De Moivre: para inteiro n,
\bigl(r(\cos\theta+\imath\sin\theta)\bigr)^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta)+\imath\sin(n\theta)\bigr).
Essa fórmula é a ferramenta que usamos para elevar facilmente complexos em forma polar.

Passo 3

Calcular o módulo e o argumento de z=-1+\imath.
  • Coordenadas: x=-1, y=1.
  • Módulo:
r=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Argumento: \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{-1}=-1. O ponto (-1,1) está no segundo quadrante, onde o ângulo correspondente é
\theta=\frac{3\pi}{4}.
Portanto escrevemos
-1+\imath=\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+\imath\sin\frac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 4

Aplicar De Moivre para elevar z à potência 7.
Usando o resultado do passo anterior e o teorema de De Moivre:
(-1+\imath)^{7}=\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{7}\Bigl(\cos\bigl(7\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr)+\imath\sin\bigl(7\cdot\tfrac{3\pi}{4}\bigr)\Bigr).
Calculemos as partes separadamente:
\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{7}=2^{7/2}=8\sqrt{2},
e o argumento
7\cdot\frac{3\pi}{4}=\frac{21\pi}{4}.

Passo 5

Reduzir o ângulo \dfrac{21\pi}{4} a um ângulo principal (mod 2\pi).
  • Subtraindo 2\pi=\dfrac{8\pi}{4} duas vezes (no total 4\pi=\dfrac{16\pi}{4}) obtemos
\frac{21\pi}{4}-\frac{16\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Assim \cos\!\bigl(\tfrac{21\pi}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr) e \sin\!\bigl(\tfrac{21\pi}{4}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr). Logo
(-1+\imath)^{7}=8\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+\imath\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr).

Passo 6

Avaliar \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr) e \sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}\bigr).
  • Para \tfrac{5\pi}{4} (terceiro quadrante), conhece-se que
\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo em 8\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+\imath\sin\frac{5\pi}{4}\bigr):
(-1+\imath)^{7}=8\sqrt{2}\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\imath\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)\Bigr).

Passo 7

Fazer as multiplicações e simplificar passo a passo (sem pular contas).
  • Primeiro observe o fator comum -\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
(-1+\imath)^{7}=8\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\bigl(1+\imath\bigr).
  • Calcule 8\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right):
8\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=8\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}\right)=8\cdot\left(-\frac{2}{2}\right)=8\cdot(-1)=-8.
  • Assim
(-1+\imath)^{7}=-8\bigl(1+\imath\bigr).

Resposta

(-1+\imath)^{7}=-8(1+\imath)

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