- Utilizando a forma trigonométrica - ou forma polar - dos números complexos, demonstre as igualdades:
(c)
;
Passo 1
O enunciado diz: mostrar a igualdade
. Vou interpretar o símbolo de expoente
como o expoente
, ou seja, a igualdade a demonstrar é
Informações dadas que vamos usar:
- O número complexo a ser elevado é
. - O lado direito é
.
O objetivo é provar que elevandoà potência obtemos exatamente o número .
Passo 2
Lembrete sobre a forma trigonométrica (polar) e o teorema de De Moivre — aula rápida e prática.
- Qualquer número complexo
pode ser escrito na forma polar como
onde
é o módulo de
e
é o argumento de
.
- O módulo
é definido por
que é o comprimento do vetor
.
- O argumento
é o ângulo medido a partir do eixo real positivo até o vetor ; para calcular use e ajuste o quadrante. - Teorema de De Moivre: para inteiro
,
Essa fórmula é a ferramenta que usamos para elevar facilmente complexos em forma polar.
Passo 3
Calcular o módulo e o argumento de
.
- Coordenadas:
, . - Módulo:
- Argumento:
. O ponto está no segundo quadrante, onde o ângulo correspondente é
Portanto escrevemos
Passo 4
Aplicar De Moivre para elevar
à potência
.
Usando o resultado do passo anterior e o teorema de De Moivre:
Usando o resultado do passo anterior e o teorema de De Moivre:
Calculemos as partes separadamente:
e o argumento
Passo 5
Reduzir o ângulo
a um ângulo principal (mod
).
- Subtraindo
duas vezes (no total ) obtemos
Assim
e
. Logo
Passo 6
Avaliar
e
.
- Para
(terceiro quadrante), conhece-se que
Substituindo em
:
Passo 7
Fazer as multiplicações e simplificar passo a passo (sem pular contas).
- Primeiro observe o fator comum
:
- Calcule
:
- Assim