Uma partícula de massa m está suspensa do teto por uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l_{0}, e cuja massa é desprezível. Tomemos o referencial S como um sistema de coordenadas cartesiano cujo eixo O z é orientado verticalmente para baixo, e com origem O no teto. Obtenha:
(a) A posição de equilíbrio estável z_{\mathrm{eq}} da partícula em funcao de m, g, k, e l_{0};
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa m presa a uma mola de constante elástica k, comprimento relaxado l_{0}. O eixo O z está apontando para baixo e a origem O fica no teto (ou seja, a coordenada z mede a distância da massa ao teto, para baixo). A massa da mola é desprezível.
O que se pede: determinar a posição de equilíbrio estável z_{\mathrm{eq}} da partícula em função de m, g, k e l_{0}.
Informações relevantes fornecidas:
massa da partícula: m;
aceleração da gravidade: g;
constante elástica da mola: k;
comprimento relaxado (natural) da mola: l_{0};
referencial: z medido para baixo a partir do teto.
Passo 2
Vamos identificar as forças que atuam na partícula quando ela está em repouso (equilíbrio). As duas forças importantes são:
o peso, que aponta para baixo e tem módulo m g;
a força elástica da mola, que aponta para cima (pois a mola puxa a massa) e tem módulo dado pela Lei de Hooke.
Explicando a Lei de Hooke de forma bem direta: quando uma mola tem comprimento relaxado l_{0} e é esticada até um comprimento L, sua extensão é (L-l_{0}) e a mola exerce uma força elástica cuja intensidade vale k vezes essa extensão. Em símbolos: se a mola está esticada de forma que seu comprimento atual é L, então a força elástica tem módulo
k\,(L-l_{0}).
No nosso sistema a massa está a uma distância z do teto, e a mola, presa no teto, tem comprimento igual a z. Portanto a extensão da mola é z-l_{0} (positiva se a mola estiver esticada). Assim o módulo da força elástica é k\,(z-l_{0}) e essa força aponta para cima.
É importante também explicar o sinal: como tomamos para baixo o sentido positivo de z, o peso (para baixo) contribui positivamente para o somatório de forças na direção +z, enquanto a força da mola, apontando para cima, tem contribuição negativa.
Passo 3
Escrevemos a condição de equilíbrio: soma das forças na direção vertical (eixo z) igual a zero. Tomando para baixo como sentido positivo,
\text{força total} = \underbrace{m g}_{\text{peso, para baixo}} \;-\; \underbrace{k\,(z-l_{0})}_{\text{força da mola, para cima}} = 0.
Aqui usei explicitamente que a força elástica tem sinal negativo porque aponta para cima.
Passo 4
Agora resolvemos a equação do equilíbrio para z. A equação do passo anterior é
m g - k\,(z-l_{0}) = 0.
Isolando z:
k\,(z-l_{0}) = m g,
z - l_{0} = \frac{m g}{k},
z = l_{0} + \frac{m g}{k}.
Passo 5
Comentário sobre estabilidade (por que é um equilíbrio estável): se a massa for deslocada um pequeno deslocamento \delta para baixo a partir de z_{\mathrm{eq}}, a mola se estica mais e a força elástica aumenta aproximadamente em k\delta, o que gera uma força resultante para cima aproximadamente -k\delta (restauradora). Isso puxa a massa de volta. Matemáticamente, pelo método da energia potencial, a energia potencial efetiva é
U(z)=m g z + \tfrac{1}{2}k\,(z-l_{0})^{2},
cuja derivada é U'(z)=m g + k\,(z-l_{0}). Zerando-a dá o mesmo z_{\mathrm{eq}} acima, e a segunda derivada é U''(z)=k>0, o que mostra que U tem mínimo em z_{\mathrm{eq}} — portanto o equilíbrio é estável. (Intuitivamente: maior k — mola mais rígida — significa menor afastamento da posição natural.)