Demonstre por indução matemática:
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}, \quad \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

Vamos provar por indução em n\in\mathbb{N} que
1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 2

Base de indução: para n=1 temos
1^2 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6} = 1,
logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k\in\mathbb{N} valha
1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.

Passo 4

Passo de indução: queremos mostrar que
1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.
Usando a hipótese,
1^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2.
Colocando fator (k+1) em evidência,
= (k+1)\Bigl(\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\Bigr) = (k+1)\Bigl(\frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6}\Bigr) = (k+1)\frac{2k^2 +7k +6}{6}.
Como 2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3), segue
1^2 + \cdots + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6},
fechando o passo de indução.

Resposta

Pelo princípio da indução,
1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
vale para todo n\in\mathbb{N}.

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