Demonstre por indução matemática:
24 \mid\left(5^{2 n}-1\right), \quad \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n\in\mathbb{N}, que
24 \mid \bigl(5^{2n}-1\bigr).
O conteúdo usado é a prova por indução e a definição de divisibilidade: “ a\mid b” significa que existe um inteiro m tal que b=am.

Passo 2

Base da indução n=1:
5^{2\cdot1}-1 = 5^2-1 = 25-1 = 24,
e claramente 24\mid24. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese de indução:
Suponha que para algum k\in\mathbb{N} valha
24 \mid \bigl(5^{2k}-1\bigr),
isto é, existe um inteiro m tal que
5^{2k}-1 = 24\,m.

Passo 4

Provar que a mesma propriedade vale para n=k+1. Começamos por
5^{2(k+1)} - 1 = 5^{2k+2} - 1 = 5^2\cdot5^{2k} - 1 = 25\cdot5^{2k} - 1.
Reescrevendo e usando a hipótese 5^{2k}-1=24\,m, temos
25\cdot5^{2k} - 1 = 25\bigl(5^{2k}-1\bigr) + 24 = 25\cdot(24\,m) + 24 = 24\,(25\,m + 1).
Portanto 5^{2(k+1)}-1 é múltiplo de 24, ou seja,
24 \mid \bigl(5^{2(k+1)}-1\bigr).

Passo 5

Concluímos, pelo princípio da indução, que para todo n\in\mathbb{N} vale
24 \mid \bigl(5^{2n}-1\bigr).

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 24\mid\bigl(5^{2n}-1\bigr).

Exercícios relacionados