Demonstre por indução matemática:
5 \mid\left(3^{n}-3 n\right), \quad \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado quer mostrar, por indução em n, que
5\mid\bigl(3^n-3n\bigr)
para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1:
3^1 - 3\cdot1 = 3 - 3 = 0,
e 0 é divisível por 5. Logo, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Para que a indução funcione, a proposição deve ser verdadeira para n=2. Mas
3^2 - 3\cdot2 = 9 - 6 = 3
e 3 não é múltiplo de 5. Portanto já falha em n=2.

Resposta

A afirmação é falsa: existe o contraexemplo n=2, pois 3^2-6=3 não é divisível por 5. Não há como provar por indução algo que falha no segundo caso.

Exercícios relacionados