Demonstre por indução matemática:
Passo 1
Vamos provar por indução em
a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita:
Passo 2
Base da indução
. À esquerda temos somente o primeiro termo:
Já o lado direito é
Logo a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum
, ou seja,
Queremos mostrar que ela vale para
.
Passo 4
Calcule a soma até
:
Pela hipótese de indução, isso é
No numerador,
Logo a soma até
é
que é exatamente a fórmula desejada para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo
.
Resposta
Demonstração concluída: para todo
e