Demonstre por indução matemática:
a+a q+a q^{2}+\ldots+a q^{n}=a\left(\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\right), \quad(q \neq 1), \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

Vamos provar por indução em n\in\mathbb{N} a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica finita:
a + a q + a q^{2} + \cdots + a q^{n} = a\left(\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\right), \quad q\neq 1.

Passo 2

Base da indução n=0. À esquerda temos somente o primeiro termo:
a + a q + \cdots + a q^{0} = a.
Já o lado direito é
a\left(\frac{q^{0+1}-1}{q-1}\right) = a\left(\frac{q-1}{q-1}\right) = a.
Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que a fórmula seja verdadeira para algum n=k, ou seja,
a + a q + a q^{2} + \cdots + a q^{k} = a\left(\frac{q^{k+1}-1}{q-1}\right).
Queremos mostrar que ela vale para n=k+1.

Passo 4

Calcule a soma até k+1:
a + a q + \cdots + a q^{k} + a q^{k+1} = \Bigl(a + a q + \cdots + a q^{k}\Bigr) + a q^{k+1}.
Pela hipótese de indução, isso é
a\left(\frac{q^{k+1}-1}{q-1}\right) + a q^{k+1} = \frac{a\bigl(q^{k+1}-1\bigr) + a q^{k+1}(q-1)}{q-1}.
No numerador,
a\bigl(q^{k+1}-1\bigr) + a q^{k+1}(q-1) = a q^{k+1} - a + a q^{k+2} - a q^{k+1} = a\bigl(q^{k+2}-1\bigr).
Logo a soma até k+1 é
\frac{a\bigl(q^{k+2}-1\bigr)}{q-1} = a\left(\frac{q^{(k+1)+1}-1}{q-1}\right),
que é exatamente a fórmula desejada para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução matemática, a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Demonstração concluída: para todo n\in\mathbb{N} e q\neq1
a + a q + a q^{2} + \cdots + a q^{n} = a\left(\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\right).

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