Demonstre por indução matemática:
2^{n}<2^{n+1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que 2^{n}<2^{n+1}
para todo n\in\mathbb{N}. O conteúdo é o princípio de indução: fazemos a base (caso inicial) e depois mostramos o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução n=0. Verificamos
2^{0} = 1 < 2 = 2^{1}.
Como 1<2 é verdadeiro, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para um k\in\mathbb{N} qualquer, seja válido
2^{k} < 2^{k+1}.

Passo 4

Passo indutivo. A partir de 2^{k} < 2^{k+1}, multiplicamos os dois lados por 2 (e como 2>0 a desigualdade se mantém):
2\cdot 2^{k} < 2\cdot 2^{k+1}.
Isso é
2^{k+1} < 2^{k+2},
que é exatamente a propriedade para n=k+1.

Resposta

Pelo princípio da indução, concluímos que 2^{n}<2^{n+1} para todo n\in\mathbb{N}.

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