Sejam
e
números inteiros. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
onde
é o máximo divisor comum (mdc) e
é o mínimo múltiplo comum (mmc) de
e
. Vamos usar a fatoração em primos e a noção de valuation
para cada primo
.
Passo 2
Pela fatoração única em primos, existem primos
e expoentes não negativos
tais que
Definimos
e
.
Passo 3
Pelas propriedades de
, temos
Isto reflete que o mdc leva o menor expoente e o mmc leva o maior.
Passo 4
Ao multiplicar
por
, os expoentes somam:
Portanto