Sejam a e b números inteiros. Mostre que (a, b) \cdot[a, b]=a \cdot b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(a,b)\cdot [a,b] = a\cdot b
onde (a,b) é o máximo divisor comum (mdc) e [a,b] é o mínimo múltiplo comum (mmc) de a e b. Vamos usar a fatoração em primos e a noção de valuation v_p para cada primo p.

Passo 2

Pela fatoração única em primos, existem primos p_1,\dots,p_n e expoentes não negativos \alpha_i,\beta_i tais que
a = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}, \quad b = \prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}.
Definimos v_{p_i}(a)=\alpha_i e v_{p_i}(b)=\beta_i.

Passo 3

Pelas propriedades de v_p, temos
v_{p_i}\bigl((a,b)\bigr)=\min(\alpha_i,\beta_i), \qquad v_{p_i}\bigl([a,b]\bigr)=\max(\alpha_i,\beta_i).
Isto reflete que o mdc leva o menor expoente e o mmc leva o maior.

Passo 4

Ao multiplicar (a,b) por [a,b], os expoentes somam:
v_{p_i}\bigl((a,b)\cdot [a,b]\bigr) =\min(\alpha_i,\beta_i)+\max(\alpha_i,\beta_i) =\alpha_i+\beta_i =v_{p_i}(a)+v_{p_i}(b).
Portanto
(a,b)\cdot [a,b] =\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i+\beta_i} =\Bigl(\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}\Bigr)\Bigl(\prod_{i=1}^n p_i^{\beta_i}\Bigr) =a\cdot b.

Resposta

(a,b)\cdot [a,b] = a\cdot b.

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